Utiliser un algorithme pour déterminer une valeur approchée d’une intégrale

Ce corrigé de bac maths t'explique comment utiliser un algorithme pour calculer une valeur approchée d’une intégrale d’une fonction dont on ne sait pas déterminer une primitive.

Énoncé du problème de maths d'après un exercice de bac

Déterminer la valeur approchée à 0,001 près de :

98e06ad6bcc33b979a2e368614ca7588a30e89cb

Méthode des rectangles

On partage [ a ,  b ]  en n intervalles de même longueur

3a855bab0ca06f899fb2f5af68739e715fe8aa4b

On considère les réels 

61ba059f85bb76485547291a5d073b454263d27e

On construit alors les rectangles de largeur h et de hauteur f(Xk), et les rectangles de largeur h et de hauteur f(Xk+1).

On note

5881dd210ed6e2d78bbc2a423a69b67c4b4a48efEt 

ecd65b7744146e6ffcfeb8d922516f8a3493088a

Si f est décroissante on a:  V_{n}leq Ileq U_{n}

Si f est croissante on a:  U_{n}leq Ileq V_{n}

Vn et Un sont des valeurs approchées de I.

Utiliser un algorithme pour déterminer une valeur approchée d’une intégrale

Langage Naturel :

corrigé bac mathématiques sur les algorithmesProgramme Python

Méthode des trapèzes

On peut améliorer l’approximation en remplaçant les rectangles par des trapèzes comme le montre la figure ci-dessous : 

améliorer l’approximation en remplaçant les rectangles par des trapèzes

Pour calculer l’aire du premier trapèze :

e2b0c1f1465028797a91b6364734282b631eb8f7

On fait ensuite un décalage de p pour calculer les aires des trapèzes suivants.

L’approximation de l’intégrale est alors :

e74d9cc29afce017b16153cef1324ce20f6385a2

Langage naturel :

c8cc58de40008ba4a999bbefc067de738935eadd

Programme Python

Méthode probabiliste

On choisit au hasard un point M (x , y) en tirant de façon indépendante ses coordonnées x et y au hasard selon la loi uniforme sur [ 0 , 1 ].

On admet que la probabilité p qu’un point tiré de cette manière soit situé sous la courbe est égale à l’intégrale I.

En pratique, on initialise un compteur C à 0, on fixe un entier naturel n et on répète n fois le processus suivant :

  • On choisit au hasard et indépendamment deux nombres x et y, selon la loi uniforme
    sur [ 0 ; 1 ] ;
  • Si M (x, y) est au-dessous de la courbe on incrémente le compteur C de 1.

On admet que f = C / n est une valeur approchée de I.
(Principe de la méthode dite de Monte Carlo)

Méthode probabiliste en mathématiques

Langage naturel :

Algorithme en langage naturel :

Programme Python

Conclusion de cet exercice corrigé

  • L’intégrale vaut 0,785 à 0,001 près.
  • Avec la méthode des rectangles on obtient cette valeur pour N= 500.
  • Avec la méthode des trapèzes on obtient cette valeur pour N= 10.
  • La méthode probabiliste donne un résultat plus aléatoire :
    pour N = 1000 on obtient  0,750 < I < 0,810

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