Exercice de maths corrigé - Entiers naturels

Cet exercice de maths en ligne niveau seconde t'explique comment montrer que racine(2) n'est pas un rationnel par un raisonnement par l'absurde.

Énoncé de cet exercice de maths

1)
a) Soit n un entier naturel pair. Démontrer que n² est pair.
b) Soit n un entier naturel impair. Démontrer que n² est impair.
c) Soit n un entier naturel. Établir réciproquement que si n² est pair, alors n est pair.

2) On veut démontrer que le nombre réel sqrt{2} n’est pas rationnel.pour cela on raisonne par l’absurde.On suppose que sqrt{2}=frac{p}{q} où p et q sont des entiers tels que la fraction frac{p}{q} est irréductible.
a) Établir que p^{2}=2q^{2}, puis en déduire que p est pair.
b) Démontrer alors que q est pair.
c) Expliquez pourquoi on arrive à une contradiction.
Conclure.

Corrigé en ligne

Rappel.
– Un entier pair est de la forme2k,avec,kin N.
– Un entier impair est de la forme 2k+1,avec,kin N.

1)

a) Supposons n pair.
Cela signifie que n=2k avec kin N.Donc n{{}^2}=4k{{}^2}=2left(2kright){{}^2}.
Cela prouve que n{{}^2} est pair.

 b) Supposons n impair.
Cela signifie que n=2k+1 avec kin N.
Donc n{{}^2}=left(2k+1right){{}^2}=4k{{}^2}+4k+1=2left(2k{{}^2}+2kright)+1.
Cela prouve que n{{}^2} est impair.

c) si n² est pair, alors n ne peut pas être impair,
sinon d’après la question précédente, n² serait impair.
Par conséquent, si n² est pair, alors n est pair.

2)
a) On suppose que sqrt{2}=frac{p}{q}, où p et q sont des entiers tels que la fraction frac{p}{q} est irréductible.
En élevant au carré, on obtient : 2=frac{p{{}^2}}{q{{}^2}},
soit encore : p{{}^2}=2q{{}^2}.
D’après cette relation p² est pair, donc d’après la question 1c) p est pair.

b) Puisque p est pair il est de la forme 2p’ avec p'in N.

En remplaçant p par 2p’ dans la relation p{{}^2}=2q{{}^2}, on obtient successivement :
left(2p'right){{}^2}=2q{{}^2}
4p'{{}^2}=2q{{}^2}
2p'{{}^2}=q{{}^2}.

On en déduit que q² est pair, et donc, d’après la question 1c), que q est pair.

c) On a supposé la fraction frac{p}{q } irréductible.
Or on vient d’établir que p et q sont divisibles par 2.
Il y a contradiction.
Cela prouve que l’hypothèse faîtes,à savoir que sqrt{2} est rationnel est fausse.

Conclusion:sqrt{2} est irrationnel.

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