Comment former et utiliser les superlatifs associés au present perfect en anglais ?
Pour une bonne compréhension des calculs, il faut avoir en tête le schéma ci-contre:
Utilisation des calculatrices :
Pour entrer les paramètres, il faut saisir les valeurs de μ et de σ (et non σ²).
Les calculatrices fournissent seulement P (a ≤ X ≤ b).
Sauf la TI-Nspire, les calculatrices ne donnent ni p(X < a) ; ni p(X > a).
Pour les calculs qui suivent on considère la loi où μ = 2 et σ = 3.
Déterminer P(a<X<b)
À partir d'une TI 82 stats (ou 83-84).
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Dans le menu « distrib », choix 2 (normalFRép).
Écrire : normalFRép(- 5.5,2,2,3) puis valider.
Résultat : 0,4937.
À partir d'une Casio Graph 35+ .
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F2 pour Ncd.
Donner la plus petite valeur (valider), la plus grande (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) puis « execute » puis F1.
Résultat : 0,4937.
Pour le calcul de P (X ≤ a) dans le cas ou X suit une loi N (μ, σ²) :
On utilise la propriété suivante :
Exemple : p( X < 4).
P (X <4) = 0,5+ P (2< X< 4).
P (X <4) = 0,5+0,248
P (X <4) = 0,748
Déterminer x tel que P (X ≤ x) = p, p étant une probabilité donnée.
À partir d'une TI 82 stats (ou 83-84) .
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F3 pour InvN.
Écrire la valeur (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) « execute » puis F1.
Résultat : 2,9956.
À partir d'une Casio Graph 35+ .
Utiliser l'instruction : InvN(probabilité, écart type, moyenne) .
Menu DISTR (touches 2ND VARS) Sélectionner InvN puis séquence : Left; 0.63 , 3 , 2 ) puis EXE.
Trois remarques pour résoudre les exercices :
Comme les lois normales sont des lois continues, les < peuvent être confondus avec ≤
(et les > avec ≥).
On utilise fréquemment les propriétés de symétrie de la loi normale par rapport à la droite verticale d’équation x=μ (voir schéma du début).
On utilise aussi fréquemment des calculs de complémentaires. Ainsi, P(X>a) = 1−P (X ≤ a)
Énoncé.Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
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1) La calculatrice donne directement le résultat :
P (180 ≤ X ≤ 220)= 0, 683.
2) On veut : P(X>4X60) soit P(X>240) =1−P (X ≤ 240)
= 1—(0,5+ P (200 ≤ X ≤ 240))
= 1 – (0,5+0,477)
= 0,023
La probabilité que le morceau choisi dure plus de 4 minutes est de 0,023.
3) La calculatrice donne x = 180.
On peut en conclure que la probabilité que la durée d’écoute du morceau choisi soit inférieure à 3 minutes est de 0,160.
P (μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) =0,68 (à 10-2 près)
P (μ – 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = 0,95 (à 10-2 près)
P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 0,997 (à 10-3 près)
Énoncé de l'exerciceLa durée de vie d’un appareil électrique peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ=2000 et d’écart-type σ=70. b) P(1790 ≤ X < 2210) |
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