1ere Spécialité Maths - Suites, approche du nombre d’or et Python

Dans cet exercice de première spé maths, ton prof de soutien scolaire en ligne t'aide à déterminer une valeur approchée du nombre d'or en étudiant deux suites, puis à établir le programme Python correspondant.

Suite de Fibonacci

1) On considère la suite (U_n), dite de Fibonacci, définie par :
U₀=1, U₁=1, U₂=U₁+U₀=2, U₃=U2+U₁=3,
et pour tout entier naturel n, par U_n+2=U_n+1+U_n.

a) Calculer U₄, U₅, U₆, U₇ et U₈.

Réponse:

b) Conjecturez le sens de variation de la suite (Un) ,et son comportement pour les grandes valeurs de n.

Réponse:

La suite (Un ) semble croissante et tendre vers  pour les grandes valeurs de n.

2) On considère maintenant la suite (V_n) définie pour tout entier naturel n par : .

a) Calculez V₀, V₁, V₂, V₃, V₄ et V₅.

Réponse:

V0	V1	V2	V3	V4	V5
1	2

b) Conjecturez le comportement de la suite (V_n).

Réponse:

La suite (V_n) semble alternée et admettre pour limite environ 1,62

3) Utilisation d’un tableur.

a) Renseignez les cellules A2 à A3.
Dans la cellule A4, entrez la formule: =A2+A3, et étirez vers le bas, pour obtenir les premiers termes de la suite (U_n).
Dans la cellule B2, entrez la formule: =A3/A2 et étirez  vers le bas pour obtenir les premiers termes de la suite (V_n).
Paramétrez le nombre maximal de décimales à l’affichage ( menu format; cellules; nombres).

Vous devez obtenir:

b) Les conjectures sont bien confirmées.
On retrouve  que la suite (U_n) est croissante et que la suite (V_n) tend vers 1,62.

4) Programmer avec Python

L’algorithme suivant, en langage naturel, a pour objectif de déterminer les valeurs des n premiers termes de la suite (V_n):

Variables:
i, n , a , b c v
Traitement:
Saisir n
a reçoit 1
b reçoit 1
v reçoit 1
Pour i variant de 1 à n
       c reçoit a+b
      a reçoit b
     v reçoit b/a
     Afficher « V », i « = »,V
fin Pour

a) Complétez le tableau suivant indiquant les valeurs des variables a, b, c et V suivant les premières valeurs de i ( de 1 à 5).

Vous devez obtenir: 

i	a	b	c	V
	1	1		1
1	1	2	2	2
2	2	3	3
3	3	5	5
4	5	8	8
5	8	13	13

b) Programmer cet algorithme en langage Python.

Programme Python 

c) Tester cet algorithme avec n de plus en plus grand.
Vous constaterez que la suite (Vn) tend vers le nombre , appelé Nombre d’or, lorsque n tend vers .

Équation du second degré

Le nombre d’or est la solution positive de l’équation x² – x – 1 = 0.
Résoudre cette équation pour confirmer ce résultat.

Réponse:

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On retrouve bien le nombre d’or.

Le nombre d’or est une grandeur à laquelle on a attribué au cours des siècles, des propriétés esthétiques voire mystiques.
Ce n’est ni une mesure, ni une dimension, c’est un rapport entre deux grandeurs homogènes.
On l’a utilisé dans des domaines aussi variés que l’architecture, la peinture, la musique mais aussi dans des éléments naturels comme la fleur de tournesol.