Préparation bac maths - Exercices type Bac Loi Binomiale (1)

Pour tes révisions bac maths, ces exercices en ligne permettent de calculer des probabilités avec une loi Binomiale en utilisant la calculatrice et déterminer l’espérance d’une loi Binomiale.

Ce cours de maths niveau lycée (terminale) proposé par ton prof de soutien scolaire en ligne met en avant le schéma de Bernoulli et la notion de loi binomiale.

Définitions et rappel de cours :

Qu'est-ce qu'un schéma de Bernoulli ?

Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.


Que signifie loi Binomiale ?

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli constitué de n épreuves ayant chacune une probabilité de succès égale à p.
La variable aléatoire X suit une loi appelée loi binomiale de paramètres n et p notée B (n ; p).

Loi binomiale - Calculer des probabilités

Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(X=k) pour une loi binomiale 
de paramètres n et p.

Sur Texas instrument : Fonction « binomFdp(n,p,k) » (menu « distrib ») avec les arguments n, p et k.
Sur Casio : Fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k, n et p.
Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(X inférieur ou égal à k) pour une loi binomiale de paramètres n et p
Sur Texas instrument : Fonction « binomFrép(n,p,k) » (menu « distrib ») avec les arguments, p et k .
Sur Casio : Fonction « BinomialCD(k,n,p) » (« OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k, n et p

Énoncé de ce sujet de mathématiques

Tous les résultats seront arrondis à 0,01 près.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos.
La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0,1.
1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.
1) On admet que X suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
2) Calculer les probabilités des événements suivants, à l’aide de la calculatrice :
A : “il n’y a aucun stylo avec un défaut”
B : “il y a au moins un stylo avec un défaut”
C : “ il y a exactement deux stylos avec un défaut”
D : “ il y a moins de deux stylos avec un défaut”

Réponse et corrigé de l'exercice

  1. X est une loi binomiale de paramètres n=8 et p=0,1.
  2. P(A)=P(X=0)=0,43 à 0,01 près.P(B)=PXgeq1)=1-P(X)=0=0,57 à 0,01 près.P(C)=P(X=2)=0,15 à 0,01 près.
    P(D)=PXleq2)=0,81 à 0,01 près

Loi binomiale:  Espérance

Rappel de cours : Soit la variable aléatoire X qui suit la loi Binomiale de paramètre n et p.
On a : E(X)=n×p
Soit la variable aléatoire Y telle que Y=aX+b.
On a alors E(Y)=aE(X)+b 

Énoncé de ce sujet de bac maths

Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3 km de son domicile à une vitesse supposée constante de 15km/h.
Sur le parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés.
Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est frac{2}{3}.Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie.On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l’élève sur son parcours
et T la variable aléatoire égale au temps en minute mis par l’élève pour aller au lycée.

1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Exprimer T en fonction de X.
3) Déterminer E(T) et interpréter ce résultat.

4) L’élève part 17 minutes avant le début des cours.
a) Peut-il espérer être à l’heure?
b) Calculer la probabilité qu’il soit en retard.

Réponse et corrigé de l'exercice

1) Les 6 feux sont indépendants les uns des autres et chacun a une probabilité de frac{2}{3} d’être vert.Donc le nombre X de feux verts suit une loi binomiale de paramètres 6 et frac{2}{3}.

2) Il y a 6-X feux rouge ou orange, avec une attente de 1,5 minutes pour chacun.Le trajet, sans attente dure :frac{3times60}{15}=12 minutes.On a donc: T=12+1,5(6-X)Soit T=21-1,5X.

3) E(X)=ntimes p=6timesfrac{2}{3}=4E(T)=E(21-1,5X)=21-1,5E(X)Soit E(T)=21-1,5times4=15

En moyenne, l’élève met 15 minutes pour se rendre au lycée.

4)

a) Le temps moyen est inférieur à 17 minutes, donc l’élève peut espérer être à l’heure.

b) 9db121d872664b3562161dbd9858f18e87fe08fa17iff21-1,5X>17" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="202" class="fr-fic fr-dii">soit 82e828392d741c2f7a0c5c29cf0ea349eefa288a soit dd84e034033f64fdfa49075ecbdd1e9001f35671On cherche donc 95e2d6a3d8cab080bda0064b9b3a666e2cc1e3c3 soit P(Xleq2)La calculatrice donne : P(Xleq2)=0,10

Conclusion: Il y a 10% de chance qu’il soit en retard.

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Calculer des probabilités avec une loi Binomiale en utilisant la calculatrice et déterminer l’espérance d’une loi Binomiale

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