Préparation bac terminale - Exercice type Bac Loi Binomiale (2)

Cet exercice en ligne de bac de maths te permettra de manipuler les « au plus » et « au moins » avec la loi binomiale.

Ton prof de soutien scolaire en ligne te propose ce cours de spécialité de mathématiques niveau lycée (terminale scientifique) avec un exercice corrigé complet sur la loi binomiale.

Énoncé de ce sujet de bac maths sur la loi binomiale.

Dans un lycée, la probabilité qu’un élève rencontré au hasard fasse du sport dans une association est de 32%.
On rencontre au hasard et successivement n élèves.
On admet que la variable aléatoire X, qui compte le nombre d’élèves faisant du sport dans une association, suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0,32.

1) Dans cette question, n=10.
Quelle est la probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association?

Réponses et corrigé

1) Il s’agit de calculer P(Xleq1).P(Xleq1)=P(X=0)+P(X=1)=(left(_{0}^{10}right)times0,32^{0}times0,68^{10}+(left(_{0}^{10}right)times0,32^{1}times0,68^{9}=0,0211+0,0995sim0,12

La probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association sur les 10 élèves rencontrés est d’environ 12%.

2) Dans cette question, n n’est pas fixé.
Combien doit-on rencontrer d’élèves pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9%.

Réponse nº2

2) Il s’agit de déterminer la valeur de n telle que 42d305adab14910bc170c58e1e98693d841642100,999" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="127" class="fr-fic fr-dii">Or P(Xgeq1)=1-P(X=0)=1-0,68^{n}On doit donc résoudre: ed0966a91a921ca0531d760c967068697c95ce920,999" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="125" class="fr-fic fr-dii">edec88fbab5550a401492b6340df30054cd62853-0,001" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="120" class="fr-fic fr-dii">9737a53feb93cce2786a80528fb69a4b29966488716eac4fc19b864bf257a5edcf24f7a6db617b3eef466127f1d1bd2b1c77176c7e2b21db59bf86d8frac{ln0,001}{ln0,68}" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="71" class="fr-fic fr-dii">   (ln0,68 est <0 donc on change le sens de l’inégalité)7cc3dfa66bc62ce22bea4f1b7fd69ee503a120dc17,91" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" class="fr-fic fr-dii">

On doit donc interroger au moins 18 élèves, pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association, soit supérieure à 99,9%.

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Loi binomiale - Calcul des probabilités

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