Conjecture de Collatz ou Suite de Syracuse - Cours de spé maths niveau 1ere

Dans ce cours de spé maths niveau première, ton prof de soutien scolaire en ligne te parle de la conjecture de Collatz ou suite de Syracuse associée au programme Python.

Qu'appelle-t-on suite de Syracuse ? Définition

On appelle suite de Syracuse N, la suite définie par :
$U_{n+1}=frac{1}{2}U_{n}$ si n est pair.

$U_{n+1}=3U_{n}+1$ si n est impair.

1) Donner les 10 premiers termes des suites de Syracuse 4, 3 et 13

Réponse:

Syracuse 4 : {4,2,1,4,2,1,4,2,1,4}
Syracuse 3 : {3,10,5,16,8,4,2,1,4,2}
Syracuse 13 : {3,40,20,10,5,16,8,4,2,1}

a) Quelle conjecture peut-on faire?

Réponse:
Quel que soit le nombre de départ, dans la suite obtenue avec l’algorithme de Syracuse , on finit toujours par obtenir 1.

b) Vérifier cette conjecture sur la suite de Syracuse 7.

Réponse:
Avec la suite Syracuse 7 on obtient:
{7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1}

La conjecture est bien vérifiée.

2) Eléments caractéristiques

– Trajectoire. c’est l’ensemble des valeurs de la suite.
– Longueur : c’est le nombre d’entiers de la suite.
-Altitude maximale: c’est la valeur maximale atteinte par la suite.
-Temps de vol : c’est le numéro de l’étape qui donne le résultat (final ) 1.
– Temps de vol en altitude (Pour les nombres impairs) : c’est le nombre d’étapes avant de passer sous le nombre de départ.

Donner les éléments caractéristiques de la suite Syracuse 11.

Réponse:
Trajectoire: { 11 , 34 , 17 , 52 , 26 , 13 ,40 , 20 , 10 , 5 , 16 , 8 , 4 , 2 ,1 }
Longueur: 15
Altitude: 52
Temps de vol: 14
Temps de vol en altitude : 7

3) Réaliser un programme Python

- Établir un programme Python qui, pour une valeur donnée de N, donne:
-La trajectoire.(Utiliser une liste) - La longueur L – L’altitude maximale A - Le temps de vol T
– Le temps de vol en altitude Z.. ( Attention Z est la plus petite valeur pour laquelle U devient inférieure au nombre de départ, il faut donc renvoyer Z-1)

Réponse :