Utiliser les parallélogrammes pour un calcul vectoriel

Ce corrigé de mathématiques niveau lycée explique les 4 règles pour bien utiliser les parallélogrammes dans un calcul vectoriel.

Propriété N°1: égalité de vecteurs

Propriétés N°2: somme de vecteurs

Pour construire la somme de deux  vecteurs, on construit le quatrième sommet d' un parallélogramme.

Pour construire le vecteur  : 

 A l'extrémité du vecteur AB on construit le vecteur BC égal au vecteur AD.
on obtiens la figure ci-dessous. 

Relation de Chasles.

Les points A et C étant donnés, pour tout point B, on a la relation :

Il est important de se rappeler, pour utiliser cette relation, que le deuxième point du premier vecteur (ici B) est le même que le premier point du second vecteur.

Propriétés N°3: Parallélogramme et milieu

"ABCD parallélogramme" équivaut à : [AC] et [BD] ont le même milieu I, soit:

Parallélogramme et repère

Soit le parallélogramme ABCD, on peut choisir le repère 

Cela facilite souvent la résolution des exercices.

Corrigé d'un exemple de calcul vectoriel

Énoncé : 

ABCD est un parallélogramme, montrons que,

Corrigé:

En utilisant les propriétés :

ABCD parallélogramme alors :

  (Propriété N° 1)

Donc :  

( Propriété N°2  Relation de Chasles)

Conclusion : Si ABCD est un parallélogramme alors ,

En utilisant un repère :

Soit le repère :

A ( 0 0)   B( 1 ; 0 )   C ( 1 ; 1)  et D ( 0 , 1)

Conclusion : Si ABCD est un parallélogramme alors ,