Comment former et utiliser les superlatifs associés au present perfect en anglais ?
Aujourd'hui ton prof de soutien scolaire en ligne te propose un vrai faux de mathématiques
Rappel de cours sur la récurrenceMéthode: Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n, et n0 un entier naturel fixé. 1) Première étape : initialisation de la propriété : 2) Deuxième étape : caractère héréditaire de la propriété : On démontre que si la propriété P(n) est vraie pour un entier n ≥ n0 (hypothèse de récurrence) alors P(n+1) est également vraie. 3) Troisième étape : conclusion : On conclut, par récurrence, que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0. |
On considère la suite (Un) (n ∈ N) définie par : Son premier terme U0 = 1 et la relation de récurrence:
Propositions :
1) La suite (Un) (n ∈ N) est majorée par 3.
2) La suite (Un) (n ∈ N) est croissante.
3) La suite (Un) (n ∈ N) est minorée par 3.
4) L'étude des premiers termes U0=1, U1≈2,3 et U2≈2,7 nous permet de dire que la suite (Un)
(n ∈ N) est convergente.
5) La suite (Un) est convergente.
6) La limite de la suite (Un) est égale à 3.
Réponses:
1) Rappel : (Un) est majorée par 3 ⇔ Un ≤ 3
Démonstration par récurrence :
Initialisation : U0= 1, par conséquent U0 < 3
Hypothèse de récurrence : supposons que, quel que soit n ∈N, Un ≤ 3
nous pouvons écrire :
alors :
Conclusion : La suite est initialisée pour n=0 et héréditaire, par conséquent,
pour tout entier naturel n, on a Un ≤ 3,
et donc la suite (Un) (n ∈ N) est majorée par 3.
L'affirmation est donc vraie.
2) Démonstration par récurrence :
Initialisation : et
donc
U_{0}" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" class="fr-fic fr-dii">.
Hypothèse de récurrence : supposons que, quel que soit n ∈N, Un+1 > Un
La fonction f définie sur N telle que est croissante,
donc Un+1 > Un ⇒ Un+2 > Un+1.
L’hérédité est donc vérifiée pour tout entier naturel n.
Conclusion : La suite est initialisée pour n=0 et héréditaire, par conséquent, pour tout entier naturel n, on a Un+1 > Un , et la suite (Un) est donc croissante.
L'affirmation est donc vraie.
3) Rappel : Un est minorée par 3 ⇔ 3 ≤ Un
On a :.
donc l’hérédité est vérifiée.
Mais l'initialisation n'est pas bonne car U0 ≤ 3.
L'affirmation est donc fausse.
4) Les cas particuliers nous permettent d'invalider une hypothèse, jamais de la prouver.
L'affirmation est donc fausse.
5) La suite (Un) est croissante et majorée, elle est donc convergente.
L'affirmation est donc vraie.
6) La suite (Un) est convergente, elle admet une limite l solution de l’équation :
soit :
ou encore
ce qui donne
L'affirmation est donc vraie.
Comment former et utiliser les superlatifs associés au present perfect en anglais ?
Quelle est la différence entre "whether" et "if "?