Exercice corrigé type Bac - Probabilités et suites

Les probabilités et suites au centre de cet exercice de maths niveau terminale dont ton prof de soutien scolaire te propose ce corrigé.

Énoncé de cet exercice de maths

Un commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90% d’entre eux achètent un melon la semaine suivante.
Parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée 60% d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et pour ngeq1, on note An l’événement “le client achète un melon au cours de la semaine n” et Pn=P(An).On a ainsi P1=1.

Corrigé de ce sujet type bac

1) Démontrer que P3=0,85

Réponse:

Arbre de probabilités:

utilisation de l'arbre de probabilité dans un exercice de maths type bac

P_{3}=P(A_{2}cap A_{3})+P(overline{A_{2}}cap A_{3})P_{3}=0,9times0,9+0,1times0,4P_{3}=0,85

2) Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu’il en ait acheté la semaine 2.

Réponse:

P_{A3}(A2)=frac{P(A3cap A2)}{P(A3)}P_{A3}(A2)=frac{0,81}{0,85}P_{A3}(A2)=0,95

3) Démontrer que , pour tout entier ngeq1 : P_{n+1}=0,5P_{n}+0,4

Réponse:

Arbre de probabilités:

Exercice corrigé type Bac - Probabilités et suites

P_{n+1}=P(A_{n}cap A_{n+1})+P(overline{A_{n}}cap A_{n+1})P_{n+1}=P_{n}times0,9+(1-P_{n})times0,4P_{n+1}=0,9P_{n}+0,4-0,4P_{n}P_{n+1}=0,5P_{n}+0,4

4) Démontrer par récurrence que pour tout entier 2f953a66bed43112009fd5171937cb82806101160,8." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="110" class="fr-fic fr-dii">

Réponse:

Initialisation:
c411d11a39f3293983439f869cfb3331d02740780,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="89" class="fr-fic fr-dii">L’initialisation est vérifiée pour n=1

Hérédité:
Supposons que d33ea29d1293f1659f1e4f441256673c413dab280,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="62" class="fr-fic fr-dii">alors:dc0d5768a2e1cfe0fbe1d1021be94d0a05b59d560,5times0,8+0,4" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="212" class="fr-fic fr-dii">Soit 3683702bcd544cd868f2e261067a0ca4aa3cc5360,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="92" class="fr-fic fr-dii">L’hérédité est vérifiée.La propriété est héréditaire et vraie pour n=1, elle est donc vraie pour tout ngeq1

Conclusion: Pour tout entier 82973dd43248facb48173eadb4542f9435eff27b0,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="107" class="fr-fic fr-dii">.

5) En déduire que la suite (P_{n}) est décroissante.
La suite (P_{n}) est-elle convergente?

Réponse:

P_{n+1}-P_{n}=-0,5P_{n}+0,4ba95758292de376cc60e2ce730555aef639f49570,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="62" class="fr-fic fr-dii"> donc 8caa1f5b426b6dee30c75a8c2d239c6111bf495aet donc 5e700ba39096dfd4f82fb2a0ac6073317b727e40Par conséquent : 83212dfe0bb356413307c5a958aaa383533029b7

Conclusion : (Pn) est décroissante.

La suite (Pn) est minorée et décroissante, elle est donc convergente.

6) On pose pour tout entier ngeq1 V_{n}=P_{n}-0,8.

Démonter que (Vn) est géométrique.

Réponse:

V_{n}=P_{n}-0,8V_{n+1}=P_{n+1}-0,8=0,5P_{n}-0,4=0,5(P_{n}-0,8)Donc : V_{n+1}=0,5V_{n}

(Vn) est une suite géométrique de raison q=0,5 
et de 1er terme V_{1}=P_{1}-0,8=1-0,8=0,2

Exprimer V_{n} puisP_{n} en fonction de n.

Réponse:

Vn=0,2times0,5^{n-1}et P_{n}=V_{n}+0,8

Soit P_{n}=0,2times0,5^{n-1}+0,8

En déduire la limite de(P_{n}).

Réponse

((V_{n}) suite géométrique de raison q=0,5 soit 87df9b1bb87e31390d0ad555ae223d5ee53023c4.lim(V_{n})=0

et par conséquent lim(P_{n})=0,8

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