Énoncé de cet exercice de mathsUn commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90% d’entre eux achètent un melon la semaine suivante. |
1) Démontrer que P3=0,85
Réponse:
Arbre de probabilités:
2) Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu’il en ait acheté la semaine 2.
Réponse:
3) Démontrer que , pour tout entier :
Réponse:
Arbre de probabilités:
4) Démontrer par récurrence que pour tout entier 0,8." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="110" class="fr-fic fr-dii">
Réponse:
Initialisation:0,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="89" class="fr-fic fr-dii">L’initialisation est vérifiée pour n=1
Hérédité:
Supposons que 0,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="62" class="fr-fic fr-dii">alors:
0,5times0,8+0,4" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="212" class="fr-fic fr-dii">Soit
0,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="92" class="fr-fic fr-dii">L’hérédité est vérifiée.La propriété est héréditaire et vraie pour n=1, elle est donc vraie pour tout
Conclusion: Pour tout entier 0,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="107" class="fr-fic fr-dii">.
5) En déduire que la suite est décroissante.
La suite est-elle convergente?
Réponse:
0,8" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="62" class="fr-fic fr-dii"> donc
et donc
Par conséquent :
Conclusion : (Pn) est décroissante.
La suite (Pn) est minorée et décroissante, elle est donc convergente.
6) On pose pour tout entier
.
Démonter que est géométrique.
Réponse:
Donc :
est une suite géométrique de raison
et de 1er terme
Exprimer puis
en fonction de n.
Réponse:
et
Soit
En déduire la limite de.
Réponse
suite géométrique de raison
soit
.
et par conséquent