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Exercice corrigé type Bac - Probabilités et suites

Les probabilités et suites au centre de cet exercice de maths niveau terminale dont ton prof de soutien scolaire te propose ce corrigé.

Énoncé de cet exercice de maths

Un commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90% d’entre eux achètent un melon la semaine suivante.
Parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée 60% d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et pour ngeq1, on note An l’événement “le client achète un melon au cours de la semaine n” et Pn=P(An).On a ainsi P1=1.

Corrigé de ce sujet type bac

1) Démontrer que P3=0,85

Réponse:

Arbre de probabilités:

utilisation de l'arbre de probabilité dans un exercice de maths type bac

P_{3}=P(A_{2}cap A_{3})+P(overline{A_{2}}cap A_{3})P_{3}=0,9times0,9+0,1times0,4P_{3}=0,85

2) Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu’il en ait acheté la semaine 2.

Réponse:

P_{A3}(A2)=frac{P(A3cap A2)}{P(A3)}P_{A3}(A2)=frac{0,81}{0,85}P_{A3}(A2)=0,95

3) Démontrer que , pour tout entier ngeq1 : P_{n+1}=0,5P_{n}+0,4

Réponse:

Arbre de probabilités:

Exercice corrigé type Bac - Probabilités et suites

P_{n+1}=P(A_{n}cap A_{n+1})+P(overline{A_{n}}cap A_{n+1})P_{n+1}=P_{n}times0,9+(1-P_{n})times0,4P_{n+1}=0,9P_{n}+0,4-0,4P_{n}P_{n+1}=0,5P_{n}+0,4

4) Démontrer par récurrence que pour tout entier ngeq1, P_{n}>0,8.

Réponse:

Initialisation:
P_{1}=1>0,8L’initialisation est vérifiée pour n=1

Hérédité:
Supposons que P_{n}>0,8alors:0,5Pn+0,4>0,5times0,8+0,4Soit Pn+1>0,8L’hérédité est vérifiée.La propriété est héréditaire et vraie pour n=1, elle est donc vraie pour tout ngeq1

Conclusion: Pour tout entier ngeq1 , P_{n}>0,8.

5) En déduire que la suite (P_{n}) est décroissante.
La suite (P_{n}) est-elle convergente?

Réponse:

P_{n+1}-P_{n}=-0,5P_{n}+0,4P_{n}>0,8 donc -0,5P_{n}<-0,4et donc -0,5P_{n}+0,4<0Par conséquent : P_{n+1}-P_{n}<0

Conclusion : (Pn) est décroissante.

La suite (Pn) est minorée et décroissante, elle est donc convergente.

6) On pose pour tout entier ngeq1 V_{n}=P_{n}-0,8.

Démonter que (Vn) est géométrique.

Réponse:

V_{n}=P_{n}-0,8V_{n+1}=P_{n+1}-0,8=0,5P_{n}-0,4=0,5(P_{n}-0,8)Donc : V_{n+1}=0,5V_{n}

(Vn) est une suite géométrique de raison q=0,5 
et de 1er terme V_{1}=P_{1}-0,8=1-0,8=0,2

Exprimer V_{n} puisP_{n} en fonction de n.

Réponse:

Vn=0,2times0,5^{n-1}et P_{n}=V_{n}+0,8

Soit P_{n}=0,2times0,5^{n-1}+0,8

En déduire la limite de(P_{n}).

Réponse

((V_{n}) suite géométrique de raison q=0,5 soit 0<q<1.lim(V_{n})=0

et par conséquent lim(P_{n})=0,8

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