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Problème du carré et des deux triangles équilatéraux - Exercice corrigé

Géométrie, coordonnées et vecteurs colinéaires au centre de cet exercice de maths niveau seconde corrigé par ton prof de soutien scolaire en ligne.

Le problème récurrent du carré et des deux triangles équilatéraux fait l'objet d'une explication et d'un corrigé.

Énoncé de ce sujet de maths niveau seconde

Le problème :
Soit un carré ABCD et deux triangles équilatéraux AEB et BFC, comme sur la figure ci-dessous.

Comment montrer que les points D, E et F sont alignés.

Corrigé de l'exercice de géométrie

1ere méthode : Avec des angles :

Le triangle ADE esi isocèle en A donc:
$widehat{AED}=frac{(180{^circ}-30{^circ})}{2}=75{^circ}$

$widehat{EBF}=30{^circ}+60{^circ}=90{^circ}$

et BE=BF

doncLe triangle BEF est rectangle isocèle en B

et par conséquent: $widehat{BEF}=45{^circ}$

On a donc: $widehat{DEF}=75{^circ}+60{^circ}+45{^circ}=180{^circ}$

Les points D, E, F sont donc alignés.

2eme méthode : Avec un repère et des vecteurs colinéaires :

Rappel : hauteur d’un triangle équilatéral de côté égal à 1: $frac{sqrt{3}}{2}$

On choisit le repère (A,,)

Coordonnées des points:

$E(frac{1}{2;};frac{sqrt{3}}{2})$

$F(1+frac{sqrt{3}}{2};frac{1}{2}$

Coordonnées des vecteurs:

$(frac{1}{2};frac{sqrt{3}}{2}-1)$

$(1+frac{sqrt{3}}{2};-frac{1}{2})$

Condition de colinéarité:

$Xtimes Y'=frac{1}{2}times(-frac{1}{2})=-frac{1}{4}$

$X'times Y=(frac{sqrt{3}}{2}-1)times(frac{sqrt{3}}{2}+1)=frac{3}{4}-1=-frac{1}{4}$

La condition de colinéarité est bien vérifiée, les vecteurs DE et DF sont colinéaires,
et donc les points D, E et F sont alignés.

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