Corrigé Bac S Maths 2018 – Amérique du sud (2)

Ton E-prof de soutien scolaire en ligne te propose la partie 2 du corrigé de l’épreuve de mathématiques Bac S 2018 donné en Amérique du Sud.

Corrigé mathématiques 2ième partie.

Exercice 4 (Nombres complexes)

On a $left{ begin{array}{c} z_{A}+z_{C}=z_{B}+z_{D} \ z_{A}+iz_{B}=z_{C}+iz_{D}% end{array}% right. left. begin{array}{c} (1) \ (2)% end{array}% right.$

De la relation on tire : $z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D}$ donc

est un parallélogramme

De la relation on tire : $z_{A}-z_{C}=ileft( z_{D}-z_{B}right)$ donc : $leftvert z_{A}-z_{C}rightvert =leftvert ileft( z_{D}-z_{B}right) rightvert$

et par conséquent :

est un rectangle (diagonales de même longueurs)

De la relation on tire : $z_{C}-z_{A}=ileft( z_{D}-z_{B}right)$ donc $frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}=-i$

Par conséquent $arg left( frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}right) =-frac{% pi }{2}$ et $left( overrightarrow{AC},overrightarrow{BD}right) =-frac{% pi }{2}$ soit encore et perpendiculaires.

est un losange (diagonales perpendiculaires)

est parallélogramme, rectangle et losange donc est un carré.

Corrigé exercice 5 Non spécialité (Suites, logarithmes)

$u_{2}=frac{u_{1}^{2}}{ku_{0}}=frac{k^{2}}{k}=k$ ; $u_{3}=frac{u_{2}^{2}}{% ku_{1}}=frac{k^{2}}{k^{2}}=1$ ; $u_{4}=frac{u_{3}^{2}}{ku_{2}}=frac{1}{% k^{2}}$

a) Formule: « =B3^2/($E$2*B2) »

b) Si alors $limlimits_{nrightarrow infty }left( u_{n}right) =0$

Si alors $limlimits_{nrightarrow infty }left( u_{n}right) =+infty$

a) $v_{n+1}-v_{n}=ln left( u_{n+2}right) =ln left( u_{n+1}right) -ln left( u_{n+1}right) +ln left( u_{n}right)$

$v_{n+1}-v_{n}=ln left( frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}right) -ln left( frac{% u_{n+1}}{u_{n}}right)$ . Or, $frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=frac{u_{n+1}}{u_{n}}% times frac{1}{func{e}}$

Donc $v_{n+1}-v_{n}=ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}right) times ln left( func{e}^{-1}right) -ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}right) =ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}right) -1-ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}% right) =-1$

$v_{0}=ln left( u_{1}right) -ln left( u_{0}right) =ln left( func{e}% right) -ln left( 1right) =1$

$v_{n}$ est donc une suite arithmétique de 1er terme $v_{0}=1$ et de raison

b) On a donc $v_{n}=v_{0}+nr$ soit $v_{n}=1-n$

4) a) Somme des termes d’ une suite arithmétique = $frac{left( text{1er terme}+text{dernier terme}right) times text{nombre de termes}}{2}$

$v_{n-1}=1-n+1=2-n$

Donc $S_{n}=left( frac{1+2-n}{2}right) times n$ soit $S_{n}=frac{% nleft( 3-nright) }{2}$

b) $v_{0}=ln left( u_{1}right) -ln left( u_{0}right)$ ; $v_{1}=ln left( u_{2}right) -ln left( u_{1}right)$ etc.

donc $S_{n}=ln left( u_{1}right) -ln left( u_{0}right) +ln left( u_{2}right) -ln left( u_{1}right) +...+ln left( u_{n}right) -ln left( u_{n-1}right)$

$S_{n}=-ln left( u_{0}right) +ln left( u_{n}right) =-ln left( 1right) +ln left( u_{n}right)$

et $S_{n}=ln left( u_{n}right)$

5) a) $S_{n}=ln left( u_{n}right)$ donc $u_{n}=func{e}^{S_{n}}$ soit $% u_{n}=func{e}^{frac{nleft( 3-nright) }{2}}$

$limlimits_{nrightarrow infty }left( frac{nleft( 3-nright) }{2}% right) =-infty$ et donc $limlimits_{nrightarrow infty }left( u_{n}right) =0$

b) Algorithme :

n prend la valeur 0
u prend la valeur 1
Tant que 10^{-50}" width="67" height="15">
- u prend la valeur exp(n*(3-n)/2)
- n prend la valeur n+1
Fin du temps que
Afficher n

On trouve n=17

Avec une inéquation : on résout .

soit :

soit encore

On obtient : 16,7" width="61" height="14">.

La plus petite valeur de n telle que est donc

Corrigé bac maths exercice 5 Spécialité (Arithmétiques, Récurrence)

Nombre de Fermat $F_{n}=2^{left( 2^{n}right) }+1$

Partie A :

1) a)

$F_{0}=2^{left( 2^{0}right) }+1=2^{1}+1=3$

$F_{1}=2^{left( 2^{1}right) }+1=2^{2}+1=4$

$F_{2}=2^{left( 2^{2}right) }+1=2^{4}+1=17$

$F_{3}=2^{left( 2^{3}right) }+1=2^{8}+1=257$

b) $F_{0}$ ; $F_{1}$ ; $F_{2}$ ; et $F_{3}$ sont premiers, mais on ne peut pas en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers.

2) On en déduit que 641 est le 1er entier supérieur ou égal à 2 qui divise $% F_{5}$ . Or 641" width="61" height="13"> donc 641 est un diviseur strict de $F_{5}$ et donc $% F_{5}$ n’est pas premier.

Conclusion : les nombres de Fermat ne sont pas forcément premiers.

Partie B

Pour tout 0" width="38" height="11"> on a :

$begin{eqnarray*} &&left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1 \ &=&left( 2^{2^{n-1}}+1-1right) ^{2}+1 \ &=&left( 2^{2^{n-1}}right) ^{2}+1 \ &=&2^{2^{n-1}times 2^{1}} \ &=&2^{2n-1+1}+1 \ &=&2^{2n}+1 end{eqnarray*}$

On a donc $left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1=F_{n}$

Montrons par récurrence la propriété :

$prodlimits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2$

Initialisation : Au rang on a $prodlimits_{i=0}^{0}F_{i}=F0=3$ et $% F_{1}-2=5-2=3$

Hérédité : On suppose que pour 0" width="38" height="11">, on ait $prod% limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2$

Montrons qu’alors $prodlimits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2$

$prodlimits_{i=0}^{n}F_{i}=prodlimits_{i=0}^{n-1}F_{i}times F_{n}=left( F_{n}-2right) times F_{n}$

Or, $F_{n}=left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1$ soit $F_{n}^{2}-2F_{n}+2$

$F_{n+1}-2=left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1=F_{n}^{2}-2F_{n}$

L’hérédité est donc vérifiée.

Conclusion : La propriété est vraie pour et héréditaire, donc pour tout 0" width="38" height="11"> on a $prodlimits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2$ .

D’après la question précédente U{2236} $prod% limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2$

Soit

$F_{0}times F_{1}times F_{2}times ...times F_{m}times ...times F_{n-1}=F_{n-2}$

$F_{m}times F_{0}times F_{1}times F_{2}times ...times F_{m-1}times F_{m+1}times ...times F_{n-1}=F_{n-2}$

Soit encore $F_{m}=prodlimits_{substack{ i=0 \ ineq m}}% ^{n-1}F_{i}=F_{n}-2$

Notons $q=prodlimits_{substack{ i=0 \ ineq m}}^{n-1}F_{i}$

On obtient $qF_{m}=F_{n}-2$

Conclusion : Pour tout entier naturel n et m tels que m" width="44" height="9"> il existe un entier naturel $q=prodlimits_{substack{ i=0 \ ineq m}}^{n-1}F_{i}$ tel que $F_{n}-qF_{m}=2$