Corrigé Bac S Maths 2018 – Amérique du sud (2)

Ton E-prof de soutien scolaire en ligne te propose la partie 2 du corrigé de l’épreuve de mathématiques Bac S 2018 donné en Amérique du Sud.

Corrigé mathématiques 2ième partie.

 

Exercice 4 (Nombres complexes)

Corrigé bac maths 2018 Nombres complexes

On a left{ begin{array}{c} z_{A}+z_{C}=z_{B}+z_{D} \ z_{A}+iz_{B}=z_{C}+iz_{D}% end{array}% right. left. begin{array}{c} (1) \ (2)% end{array}% right.

De la relation (1) on tire : z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D} donc % overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}

ABCD est un parallélogramme

De la relation (2) on tire : z_{A}-z_{C}=ileft( z_{D}-z_{B}right)donc : leftvert z_{A}-z_{C}rightvert =leftvert ileft( z_{D}-z_{B}right) rightvert

et par conséquent : AC=BD

ABCD est un rectangle (diagonales de même longueurs)

De la relation (2) on tire : z_{C}-z_{A}=ileft( z_{D}-z_{B}right)donc frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}=-i

Par conséquent arg left( frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}right) =-frac{% pi }{2} et left( overrightarrow{AC},overrightarrow{BD}right) =-frac{% pi }{2} soit encore (AC) et (BD) perpendiculaires.

ABCD est un losange (diagonales perpendiculaires)

ABCD est parallélogramme, rectangle et losange donc ABCD est un carré.

Corrigé exercice 5 Non spécialité (Suites, logarithmes)

Corrigé exercice 5 maths Suites, logarithmes

correction bac maths amérique du sud 2018

 

u_{2}=frac{u_{1}^{2}}{ku_{0}}=frac{k^{2}}{k}=k ; u_{3}=frac{u_{2}^{2}}{% ku_{1}}=frac{k^{2}}{k^{2}}=1 ; u_{4}=frac{u_{3}^{2}}{ku_{2}}=frac{1}{% k^{2}}

a) Formule: « =B3^2/($E$2*B2) »

b) Si k=2,7182818 alors limlimits_{nrightarrow infty }left( u_{n}right) =0

Si k=0,9 alors limlimits_{nrightarrow infty }left( u_{n}right) =+infty

a) v_{n+1}-v_{n}=ln left( u_{n+2}right) =ln left( u_{n+1}right) -ln left( u_{n+1}right) +ln left( u_{n}right)

v_{n+1}-v_{n}=ln left( frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}right) -ln left( frac{% u_{n+1}}{u_{n}}right). Or, frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=frac{u_{n+1}}{u_{n}}% times frac{1}{func{e}}

Donc v_{n+1}-v_{n}=ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}right) times ln left( func{e}^{-1}right) -ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}right) =ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}right) -1-ln left( frac{u_{n+1}}{u_{n}}% right) =-1

v_{0}=ln left( u_{1}right) -ln left( u_{0}right) =ln left( func{e}% right) -ln left( 1right) =1

v_{n} est donc une suite arithmétique de 1er terme v_{0}=1 et de raison % r=-1

b) On a donc v_{n}=v_{0}+nr soit v_{n}=1-n

4) a) Somme des termes d’ une suite arithmétique = frac{left( text{1er terme}+text{dernier terme}right) times text{nombre de termes}}{2}

v_{n-1}=1-n+1=2-n

Donc S_{n}=left( frac{1+2-n}{2}right) times n soit S_{n}=frac{% nleft( 3-nright) }{2}

b) v_{0}=ln left( u_{1}right) -ln left( u_{0}right) ; v_{1}=ln left( u_{2}right) -ln left( u_{1}right) etc.

donc S_{n}=ln left( u_{1}right) -ln left( u_{0}right) +ln left( u_{2}right) -ln left( u_{1}right) +...+ln left( u_{n}right) -ln left( u_{n-1}right)

S_{n}=-ln left( u_{0}right) +ln left( u_{n}right) =-ln left( 1right) +ln left( u_{n}right)

et S_{n}=ln left( u_{n}right)

5) a) S_{n}=ln left( u_{n}right) donc u_{n}=func{e}^{S_{n}} soit % u_{n}=func{e}^{frac{nleft( 3-nright) }{2}}

limlimits_{nrightarrow infty }left( frac{nleft( 3-nright) }{2}% right) =-infty et donc limlimits_{nrightarrow infty }left( u_{n}right) =0

b) Algorithme :

  • n prend la valeur 0
  • u prend la valeur 1
  • Tant que c7a1c0f37b3f419e7fac59c3540dc7c86b37435210^{-50}" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="15" width="67" class="fr-fic fr-dii">
    • u prend la valeur exp(n*(3-n)/2)
    • n prend la valeur n+1
  • Fin du temps que
  • Afficher n

On trouve n=17

Avec une inéquation : on résout e020aefe8a37ee6d5a79cb05653fab726b810203.

6db96607bc19d44c7c5e056ee6aec040653214ca soit : cd42f91eecb2578c5ec8b73f728f085c653e38d6

4faad7c23b6025a8c07497be4ab5a61aea5954a0 soit encore bb688ccec3811714c516aca12888f1776bb8482b

On obtient : d20f868928ff81e303b8a47a3d1ed5939861d55e16,7" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="61" class="fr-fic fr-dii">.

La plus petite valeur de n telle que 52752cf4fb1fc43d38d5ae82aface9f70e2180b8 est donc n=17

Corrigé bac maths exercice 5 Spécialité (Arithmétiques, Récurrence)

Corrigé bac maths Arithmétiques, Récurrence)

soutien scolaire en ligne corrigé bac amérique sud 2018

Nombre de Fermat F_{n}=2^{left( 2^{n}right) }+1

Partie A :

1) a)

F_{0}=2^{left( 2^{0}right) }+1=2^{1}+1=3

F_{1}=2^{left( 2^{1}right) }+1=2^{2}+1=4

F_{2}=2^{left( 2^{2}right) }+1=2^{4}+1=17

F_{3}=2^{left( 2^{3}right) }+1=2^{8}+1=257

b) F_{0} ; F_{1} ; F_{2} ; et F_{3} sont premiers, mais on ne peut pas en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers.

2) On en déduit que 641 est le 1er entier supérieur ou égal à 2 qui divise % F_{5}. Or fb625f07f1635d57857ce046f0d87d76231123a7641" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="61" class="fr-fic fr-dii"> donc 641 est un diviseur strict de F_{5} et donc % F_{5} n’est pas premier.

Conclusion : les nombres de Fermat ne sont pas forcément premiers.

Partie B

Pour tout 25e1898d40363e673b6710f79a78b76a38ac31f40" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="11" width="38" class="fr-fic fr-dii"> on a :

  begin{eqnarray*} &&left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1 \ &=&left( 2^{2^{n-1}}+1-1right) ^{2}+1 \ &=&left( 2^{2^{n-1}}right) ^{2}+1 \ &=&2^{2^{n-1}times 2^{1}} \ &=&2^{2n-1+1}+1 \ &=&2^{2n}+1 end{eqnarray*}

On a donc left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1=F_{n}

Montrons par récurrence la propriété :

prodlimits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Initialisation : Au rang n=1 on a prodlimits_{i=0}^{0}F_{i}=F0=3 et % F_{1}-2=5-2=3

Hérédité : On suppose que pour a1b30fa326a398ba87faac54008df0b5b9e283da0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="11" width="38" class="fr-fic fr-dii">, on ait prod% limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Montrons qu’alors prodlimits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2

prodlimits_{i=0}^{n}F_{i}=prodlimits_{i=0}^{n-1}F_{i}times F_{n}=left( F_{n}-2right) times F_{n}

Or, F_{n}=left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1 soit F_{n}^{2}-2F_{n}+2

F_{n+1}-2=left( F_{n-1}-1right) ^{2}+1=F_{n}^{2}-2F_{n}

L’hérédité est donc vérifiée.

Conclusion : La propriété est vraie pour n=1 et héréditaire, donc pour tout fa515d1ec2892560996dbe945b4a3d66fd544b270" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="11" width="38" class="fr-fic fr-dii"> on a prodlimits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2.

D’après la question précédente U{2236} prod% limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Soit

F_{0}times F_{1}times F_{2}times ...times F_{m}times ...times F_{n-1}=F_{n-2}

F_{m}times F_{0}times F_{1}times F_{2}times ...times F_{m-1}times F_{m+1}times ...times F_{n-1}=F_{n-2}

Soit encore F_{m}=prodlimits_{substack{ i=0 \ ineq m}}% ^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Notons q=prodlimits_{substack{ i=0 \ ineq m}}^{n-1}F_{i}

On obtient qF_{m}=F_{n}-2

Conclusion : Pour tout entier naturel n et m tels que 7a8e5ec19be8f9110c8a69dd1adad1d3dbcbaf4fm" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="9" width="44" class="fr-fic fr-dii"> il existe un entier naturel q=prodlimits_{substack{ i=0 \ ineq m}}^{n-1}F_{i} tel que F_{n}-qF_{m}=2

4) Soit deux entiers naturels tels et 860b6b32c611953ee040ea99f733b9fcb223e106. D’après la question précédente il existe un entier naturel q tel que F_{n}-qF_{m}=2.

D’après le Théorème de Bézout, 2 est un multiple du PGCD de (Fm,Fn).

Un nombre de Fermat est une puissance de 2 augmentée de 1, donc c’est un
nombre impair.

On en déduit que PGCD de (Fm,Fn)=1 pour tout couple d’entiers naturels % (n,m) avec 3071c9a650d76b18825892da3672c9915d8ddead

Conclusion : 2 nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.

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