Corrigé bac maths S Washington 2019 - Géométrie dans l'espace

La géométrie dans l'espace, sujet de cet exercice de bac de mathématiques donné à Washington en 2019. Découvrez son corrigé.

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Énoncé de cet exercice de bac 2019

Corrigé de ce sujet sur la géométrie dans l'espace

1.

Il y a plusieurs approches possibles. En voici une : 

Par symétrie de la figure, on a NM = NK, et aussi IM = MK. Donc I et N sont tous deux sur la médiatrice de MK. Par suite, (IN) EST cette médiatrice, et donc est perpendiculaire à (MK). Par un raisonnement identique, (IN) est perpendiculaire à (LJ). Ainsi (IN) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (JKLM). Donc (IN) est perpendiculaire à ce plan et orthogonale à toute droite incluse dans ce plan, en particulier elle est orthogonale à (LM), ce qu'il fallait démontrer.

2.a.

On a  : 

2.b.

Il suffit de calculer le produit scalaire des vecteurs NC et ML (formule xx'+yy'+zz'). Les calcul est très simple et fait 0. Donc les vecteurs (et donc les droites correspondantes) sont orthogonales.

2.c.

On a déjà vu que (ML) est orthogonale à (NI) (question 1.), et on vient de voir que (ML) est orthogonale à (NC). (NC) et (NI) étant sécantes, le vecteur ML est normal à (NCI). Pour une équation plus agréable, nous utiliserons même 2ML comme vecteur normal, de coordonnées (-1, 1, 0).

(NCI) possède donc une équation cartésienne de la forme 

(Avec d un réel qu'il nous reste à déterminer). (NCI) passe par C, donc en injectant ses coordonnées (1, 1, 0) dans l'équation, on obtient d = 0, et finalement l'équation - x + y = 0.

3.a.

Il suffit de vérifier que les coordonnées de N, puis celles de J, puis celles de M, vérifient l'équation. (Remplacer le x, le y et le z, par ceux de ces points.)

Sachant que trois points distincts non alignés définissent un plan, on prouve ainsi que l'équation proposée est celle de (NJM).

Au cas où, pour ceux qui veulent plus de détails : 

3.b.

Les coordonnées du vecteur FD sont (1;-1;1). Une équation de (NJM) est x - y + z = 1, donc un vecteur normal à (NJM) directement lisible dans l'équation est justement (1;-1;1) = vecteur FD. Ainsi (DF) est perpendiculaire à (NJM).

3.c.

Premièrement, N est clairement dans l'intersection des deux plans. On remarque que le point E (0;0;1) vérifie également l'équation de (NJM) et celle de (NCI). 

le vecteur EN est donc un vecteur directeur de la droite d'intersection recherchée, et mieux encore, cette droite peut carrément s'appeler (EN).