Comment réussir à décomposer 7429 (à la main, sans calculatrice) en produit de facteurs premiers ?

Réponse :

Ce cours de maths spécial lycée (terminale) ton e-prof de soutien scolaire en ligne t'aide à décomposer à la main un nombre en facteurs premiers.


Comment réussir à décomposer 7429 (à la main, sans calculatrice) en produit de facteurs premiers ? La question telle qu'elle est posée est un prétexte pour détailler un peu les stratégies à adopter face à une situation de ce genre.


Pour commencer, il est toujours bon connaître le :


Théorème fondamental de l'arithmétique : 


Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est décomposable en un produit de nombres premiers, unique à l'ordre près des facteurs.


Exemples : 

  • 32 = 2x2x2x2x2
  • 34 = 2x17
  • 91 = 13x17
  • 9 438 = 2×3×11×11×13


Et bien entendu, la :


Définition d'un nombre premier :


On appelle nombre premier tout entier POSITIF possédant exactement 2 diviseurs POSITIFS.

Exemples : 

  • 2 est premier, car divisible uniquement par 1 et 2.
  • 3 aussi, et 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
  • 1 N'EST PAS PREMIER : il ne possède qu'un seul diviseur positif : 1
  • 0 N'EST PAS PREMIER : il possède une infinité de diviseurs positifs : tous les entiers naturels sauf 0 divisent 0.
  • 14 n'est pas premier : il est divisible par 1, 2, 7, 14 (4 diviseurs positifs)


Ceci étant posé, ne nous méprenons pas : pour des nombres de petite taille, avec une connaissance correcte des  tables de multiplication, c'est très facile. Mais quand les nombres deviennent grands, trouver une telle décomposition est difficile. Tellement difficile que même des super-ordinateurs peuvent s'y casser les dents : la cryptographie moderne repose d'ailleurs sur cette difficulté.


Voyons comment aborder une telle décomposition dans des cas humainement abordables.


Comment décomposer 7429 (à la main, sans calculatrice) en produit de facteurs premiers ?


Méthode 1 : les tables de multiplication


A utiliser pour des nombres inférieurs à 100, qui idéalement apparaissent dans les fameuses tables. On trouve directement une première décomposition (pas forcément en facteurs premiers), et on redécompose les résultats pour arriver à la décomposition finale.

Exemples : 

  • 48 = 6x8 = (2x3)x(2x2x2) = 2x2x2x2x3
  • 63 = 7x9 = (7)x(3x3) = 3x3x7


Cette méthode, très rapide pour des petits nombres, est vite dépassée dès qu'un nombre n'est pas dans les tables usuelles.

Exemple : 91 = 7x13. A moins de connaître la table de 13, on peut passer à côté.


Méthode 2 : diviser le nombre N


Diviser le nombre N qui nous intéresse par tous les nombres premiers jusqu'à dépasser la racine carrée de N.


C'est la seule technique qui vaille. Inconvénient, si N est très grand, il va falloir ramer dans certains cas, voire abandonner faute de temps. Mais face à un problème concret de niveau terminale, c'est bien la bonne technique.

Exemple :  celui du titre, N = 7429.

  1. Clairement, nous sommes hors des clous des tables de multiplication. On abandonne la méthode 1.
  2. 7429 n'est pas divisible par 2 car il est impair.
  3. 7429 n'est pas divisible par 3 car il 7+4+2+9=22 qui n'est pas divisible par 3.
  4. 7429 n'est pas divisible par 5 car il ne termine ni pas 0 ni par 5.
  5. 7429 n'est pas divisible par 7 car en posant la division euclidienne, il y a un reste non nul.
  6. 7429 n'est pas divisible par 11 car 7+2 différent de 4+9 (la somme des chiffres de rang pair n'est pas égale à la somme des chiffres de rang impair.
  7. 7429 n'est pas divisible par 13 car en posant la division euclidienne, le reste est non nul.
  8. 7429 est divisible par 17. En posant la division, je trouve 7429 = 17 x 437
  9. Je change de N : maintenant c'est 437. JE REVÉRIFIE 17 !!!
  10. 437 n'est pas divisible par 17, car en posant la division, le reste est non nul.
  11. 437 est divisible par 19 et 437 = 19x23.
  12. 23 est un nombre premier, donc c'est terminé.
  13. Au final 7429 = 17x19x23


Remarque : cet exemple était assez dur car il fallait arriver jusqu'à 17. Mais au final, je n'ai posé que les divisions par 7, 13, 17, 19, soit quatre divisions en tout. On n'en meurt pas, et l'exercice, avec un peu d'entraînement, prend 5 minutes.

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