Comment calculer des probabilités en utilisant une loi normale avec la calculatrice ?

Réponse :

En utilisant une calculatrice Casio Graph 35 ou Texas, ce cours de maths niveau lycée t'explique comment calculer des probabilités en utilisant une loi normale.


Rappel de cours sur l'utilisation d'une calculatrice :


Pour une bonne compréhension des calculs, il faut avoir en tête le schéma ci-contre:


 

Utilisation des calculatrices :

Pour entrer les paramètres, il faut saisir les valeurs de μ et de σ (et non σ²).

Les calculatrices fournissent seulement P (a ≤ X ≤ b).

Sauf la TI-Nspire, les calculatrices ne donnent ni p(X < a) ; ni p(X > a).

Pour les calculs qui suivent on considère la loi  où μ = 2 et σ = 3.


Déterminer P(a<X<b) 

À partir d'une TI 82 stats (ou 83-84). 

Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Dans le menu « distrib », choix 2 (normalFRép).
Écrire : normalFRép(- 5.5,2,2,3) puis valider.
Résultat : 0,4937.  


À partir d'une Casio Graph 35+ .

Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F2 pour Ncd.
Donner la plus petite valeur (valider), la plus grande (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) puis « execute » puis F1.
Résultat : 0,4937.


Pour le calcul de P (X ≤ a) dans le cas ou X suit une loi N (μ, σ²) :

On utilise la propriété suivante :

  • Si x ≥ μ, on utilise P (X ≤ x) = 0,5+ P (μ ≤ X ≤ x).
  • Si x ≤ μ, on utilise P (X ≤ x) = 0,5- P (x ≤ X ≤ μ).

Exemple : p( X < 4).

   P (X <4) = 0,5+ P (2< X< 4).

   P (X <4) = 0,5+0,248

   P (X <4) = 0,748


Déterminer x tel que P (X ≤ x) = p, p étant une probabilité donnée.

À partir d'une TI 82 stats (ou 83-84) .

Exemple : p(X < x) = 0,63.
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F3 pour InvN.
Écrire la valeur (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) « execute » puis F1.
Résultat : 2,9956.

À partir d'une Casio Graph 35+ .

Utiliser l'instruction : InvN(probabilité, écart type, moyenne) .

Menu DISTR (touches 2ND VARS) Sélectionner InvN puis séquence : Left; 0.63 , 3 , 2 ) puis EXE.



Trois remarques pour résoudre les exercices :

Comme les lois normales sont des lois continues, les < peuvent être confondus avec ≤
(et les > avec ≥).

On utilise fréquemment les propriétés de symétrie de la loi normale par rapport à la droite verticale d’équation x=μ (voir schéma du début).

On utilise aussi fréquemment des calculs de complémentaires. Ainsi, P(X>a) = 1−P (X ≤ a) 


Énoncé. 


Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stockée sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que X suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.
On écoute un morceau musical au hasard.

  • Donner une valeur approchée à 10 -3 près de P (180 ≤ X ≤ 220).
  • Donner une valeur approchée à 10 -3 près de la probabilité que le morceau choisi dure plus de 4 minutes.
  • Sachant que P (X ≤ x) = 0,160 , déterminer x.
    Que peut-on en conclure ?


Corrigé


1) 
La calculatrice donne directement le résultat :
    P (180 ≤ X ≤ 220)= 0, 683.
2) On veut : P(X>4X60) soit  P(X>240) =1−P (X ≤ 240)
                      = 1—(0,5+ P (200 ≤ X ≤ 240))
                      = 1 – (0,5+0,477)
                      = 0,023
     La probabilité que le morceau choisi dure plus de 4 minutes est de 0,023.
3)  La calculatrice donne x = 180.
On peut en conclure que la probabilité que la durée d’écoute du morceau choisi soit inférieure à 3 minutes est de 0,160.                     

 

Connaître et utiliser

P (μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) =0,68 (à 10-2 près)

P (μ – 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) = 0,95 (à 10-2 près)

P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 0,997 (à 10-3 près)


Énoncé de l'exercice


La durée de vie d’un appareil électrique peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ=2000 et d’écart-type σ=70.
Calculer, sans la calculatrice, une valeur approchée au millième de chacune des probabilités suivantes :
a) P(X < 
2000)  

b) P(1790 ≤ 2210)  
c) P(
2000 X2140)



Corrigé


  • L’axe de symétrie de la courbe a pour équation x=2000.
    La probabilité recherchée vaut donc exactement la moitié de l’aire sous la courbe.
    Comme l’aire située entre la courbe et l’axe des abscisses vaut 1,
    alors la probabilité recherchée est P(X<2000) = 0,5.
    Nous savons que, P(μ−3σ<X<μ+3σ) ≈ 0,997.
    Ici, μ−3σ=2000−3×70=1790 et μ+3σ=2000+3×70=2210.
    Par conséquent, P(1790≤X<2210 )≈ 0,997.
  • D’après le cours, P(μ−2σ<X<μ+2σ) ≈ 0,954.
     Ici, μ−2σ=2000−140=1860 et μ+2σ=2000+140=2140.
    Par conséquent, P(1860<X<2140)≈0,954.
  • Par symétrie par rapport à l’axe d’équation x=2000,
    on en déduit que P(2000<X<2140) ≈ 0,954 / 2 ≈ 0,477.



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