Comment calculer une valeur approchée d’une intégrale d’une fonction dont on ne sait pas déterminer une primitive ?

Réponse :

Ce corrigé de bac maths t'explique comment utiliser un algorithme pour calculer une valeur approchée d’une intégrale d’une fonction dont on ne sait pas déterminer une primitive.


Énoncé du problème de maths d'après un exercice de bac


Déterminer la valeur approchée à 0,001 près de :


Méthode des rectangles


On partage [ a ,  b ]  en n intervalles de même longueur

On considère les réels 

On construit alors les rectangles de largeur h et de hauteur f(Xk), et les rectangles de largeur h et de hauteur f(Xk+1).

On note

Et 

Si f est décroissante on a:  V_{n}\leq I\leq U_{n}

Si f est croissante on a:  U_{n}\leq I\leq V_{n}


Vn et Un sont des valeurs approchées de I.


Utiliser un algorithme pour déterminer une valeur approchée d’une intégrale


Langage Naturel :

corrigé bac mathématiques sur les algorithmesProgramme Python


Méthode des trapèzes

On peut améliorer l’approximation en remplaçant les rectangles par des trapèzes comme le montre la figure ci-dessous : 


améliorer l’approximation en remplaçant les rectangles par des trapèzes

Pour calculer l’aire du premier trapèze :

On fait ensuite un décalage de p pour calculer les aires des trapèzes suivants.

L’approximation de l’intégrale est alors :

Langage naturel :

Programme Python


Méthode probabiliste

On choisit au hasard un point M (x , y) en tirant de façon indépendante ses coordonnées x et y au hasard selon la loi uniforme sur [ 0 , 1 ].

On admet que la probabilité p qu’un point tiré de cette manière soit situé sous la courbe est égale à l’intégrale I.

En pratique, on initialise un compteur C à 0, on fixe un entier naturel n et on répète n fois le processus suivant :

  • On choisit au hasard et indépendamment deux nombres x et y, selon la loi uniforme
    sur [ 0 ; 1 ] ;
  • Si M (x, y) est au-dessous de la courbe on incrémente le compteur C de 1.

On admet que f = C / n est une valeur approchée de I.
(Principe de la méthode dite de Monte Carlo)

Méthode probabiliste en mathématiques

Langage naturel :

Algorithme en langage naturel :

Programme Python


Conclusion de cet exercice corrigé


  • L’intégrale vaut 0,785 à 0,001 près.
  • Avec la méthode des rectangles on obtient cette valeur pour N= 500.
  • Avec la méthode des trapèzes on obtient cette valeur pour N= 10.
  • La méthode probabiliste donne un résultat plus aléatoire :
    pour N = 1000 on obtient  0,750 < I < 0,810


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