Comment utiliser un algorithme pour déterminer la mesure principale d'un angle ?

Réponse :

Cours de mathématiques niveau lycée (1ere) sur la détermination de la mesure principale d'un angle , à l'aide d'un algorithme, via les calculatrices Casio et Texas, et le langage Python.


Rappel de cours : 

Un angle orienté possède une infinité de mesures. 

En ajoutant ou en retranchant 2π à une mesure donnée on obtient une autre mesure possible.



Méthode pour déterminer la mesure principale d’un angle orienté :


Déterminons la mesure principale \alpha de l’angle x tel que x=\frac{27\pi}{4}

 

On sait, d’après (1), que x= \alpha+ 2k\pi  avec  k\epsilon Z.  Soit  \alpha\,=\,x\,-\,2k\pi

 

Comme x=\frac{27\pi}{4} on en déduit que  \alpha\,=\,\frac{27\pi}{4}\,-\,2k\pi


Or d’après (2) ,-\pi<\alpha\leq\pi

 

Ainsi : -\pi<\frac{27\pi}{4}-2k\pi\leq\pi

 

-\pi-\frac{27\pi}{4}<-2k\pi\leq\pi-\frac{27\pi}{4} ( on a retranché \frac{27\pi}{4} aux membres de l’encadrement )

 

-\frac{31\pi}{4}<-2k\pi\leq-\frac{23\pi}{4} ( on a réduit les membres de gauche et de droite)

 

\frac{23\pi}{8}\leq k\pi<\frac{31\pi}{8} (On a multiplié les membres de l’encadrement par -\frac{1}{2} qui est négatif , on a donc changé le sens de l’encadrement). 

 

2,875\leq k<3,875 ( On a divisé les membres de l’encadrement par \pi)


K étant un entier relatif, cet encadrement admet une seule solution k = 3


Comme \alpha\,=\,x\,-\,2k\pi on en déduit que :


\alpha=\frac{27\pi}{4}-2\times3\times\pi\,=\,\frac{27\pi}{4}-6\pi\,=\,\frac{27\pi}{4}-\frac{24\pi}{4}\,=\,\frac{3\pi}{4}


La mesure principale de l’angle\frac{27\pi}{4} est donc \frac{3\pi}{4}


Algorithme:

Connaissant un angle dont la mesure en radians est de la forme \frac{A\times\pi}{B},

il s’agit de déterminer, à l'aide d'un algorithme, la mesure principale associée,

c’est à dire de déterminer les entiers C et D tels que :


\frac{A\times\pi}{B}=\frac{C\times\pi}{D}\,(mod2\pi)  avec -1<\frac{C}{D}\leq1.


On supposera que B est positif.

Pour déterminer la mesure principale de l’angle,on retranche ou on ajoute 

un certain nombre de fois 2\pi, jusqu’à ce que la valeur de l’angle soit comprise dans l’intervalle ]-\pi\,;\,\pi].


Algorithmes donnant la mesure principale d’un angle :

Algorithmes donnant la mesure principale d’un angle : calculatrice Casio et Texas instrument

Langage Python :

Langage Python : pour angle orienté

Programme Python


Vous pouvez tester les programmes avec l’exemple donné en rappel de cours.

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