Comment intégrer les fractions dans un problème de maths traitant de phases du sommeil ?

Réponse :

Ce cours de mathématiques spécial collège te permet de comprendre l'utilisation des fractions à partir d'un exercice corrigé sur les phases du sommeil.



Énoncé du problème de mathématiques


Les phases du sommeil :


Notre nuit de sommeil se divise en quatre phases :

1/  Le temps d’endormissement,

2/ Le sommeil léger,

3/ Le sommeil lent profond,

4/ Le sommeil paradoxal.
L’alternance entre ces trois dernières phases forme un cycle de sommeil .

Une nuit complète comprend 4, 5 ou 6 cycles.

Dans un hôpital , on a enregistré les durées des différents types de sommeil d’un patient. Voici pour chacun d’eux, leur proportion de la durée totale de sommeil.

. Temps d’endormissement : 1/48 de la durée totale de sommeil.

. Sommeil lent profond :  7/24 de la durée totale de sommeil.

. La phase de sommeil léger est plus longue que celle du sommeil lent profond.
. La différence entre la phase de sommeil léger et celle de sommeil lent profond représente  1/8
 de la durée totale de sommeil.



Corrigé de l'exercice de maths


1.Montrer que la proportion du sommeil léger est égale à 5/12 de la durée totale du sommeil .


Notons S pour durée totale du sommeil, SL pour sommeil léger, TE pour temps d’endormissement, SLP pour sommeil lent profond, SP pour sommeil paradoxal.

La différence entre la phase de sommeil léger et celle de sommeil lent profond représente 1/8 de la durée totale de sommeil . Ainsi SL – SLP = 1/8 S 
et  Sommeil lent profond :7/24 de la durée totale de sommeil . Ainsi  SLP = 7/24 S

Comme SL – SLP = 1/8 S  et  SLP =  7/24 S   alors  SL -  7/24 S =  1/8 S  et   SL = 1/8 S + 7/24 S

SL = (1/8 + 7/24) S     soit SL = ( 3/24 + 7/24 ) S  donc  SL = 10/24 S   et SL =  5/12 S
La proportion de sommeil léger est bien égale à 5/12 de la durée totale de sommeil . 

2. Un patient a passé 3.25h (c’est-à-dire 3h15 min) dans une phase de sommeil paradoxal. Quelle a été la durée totale de son sommeil ? 

On a = TE + SL + SLP + SP

          S = 1/48 S + SL + 7/24 S + SP  et d’après la question précédente SL = 5/12

       Ainsi S = 1/48 S  + 5/12 S  + 7/24 S + SP    =(1/48 + 5/12 + 7/24 ) + SP   

S = ( 1/48 +20/48 + 14/48) + SP 

 S = 35/48 + SP    et SP = - 35/48      SP = ( 48/48 - 35/48) S   SP = 13/48 S

Le sommeil paradoxal représente donc 13/48 de la durée totale de sommeil.

Le patient a passé 3,25h dans cette phase , comme SP = 13/48 S  alors  48/13 SP = S

= 48/13 × 3,25 = 12
La durée totale du sommeil du patient a été de 12 heures 


Raphael, 4ème

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