Retrouver le jour et le mois de naissance, expression littérale simplifiée

Dans cet exercice de mathématiques niveau collège, 4e, nous allons à partir d'une expression littérale simplifiée retrouver le jour et le mois de naissance.

Corrigé en ligne étape par étape de l'exercice

1. Faire fonctionner le tour de magie avec ses jour et son mois de naissance (7 juin)

Son jour de naissance est 7 son mois de naissance est 6 .
7×25=175 175+30=205 205×80=16400

16400-(2×6) =16400-12=16388

16388-2400 = 13988

2. Ecrire une expression littérale simplifiée qui traduit le tour de magie

Si l’on note x pour le jour de naissance , et y pour le mois de naissance , on obtient :
(25x + 30) × 80 – 2y – 2400

Si l’on développe cette expression 25x × 80 + 30 × 80 - 2y - 2400 = 2000x + 2400 – 2y – 2400

= 2000x – 2y 
L’expression littérale simplifiée peut s’écrire 2 (1000 x – y)

3. A l'aide du résultat obtenu à la question 1 et en observant la forme littérale, expliquer la démarche du magicien

En partant du jour et du mois de naissance du magicien on obtient :

2 (1000x – y ) = 13988 ce qui veut dire que l’on doit avoir 1000x –y = 13988 :2

Soit 1000x – y = 6994 ou encore 1000 x = 6994 + y

Le nombre 6994 + y doit être divisible par 1000 , cela ne laisse qu’une seule possibilité pour y qui est compris entre 1 et 12 . y = 6 car 6994 + y = 7000 qui est bien divisible par 1000.

Si y = 6 alors 1000 x = 7000 et x = 7 . On retrouve bien x/y 7/6 ou le 7 juin.

Le magicien commence donc par diviser le nombre donné par le spectateur par 2. 

Ensuite il trouve y (le mois) en ajoutant y au nombre obtenu de façon à ce que la somme soit divisible par 1000. 

Il en déduit x en divisant ce qu’il a trouvé par 1000.

4. Retrouver le jour et le mois de naissance du spectateur interrogé

Le spectateur interrogé annonce 9994 .
En divisant ce nombre par 2 on obtient 9994 : 2 = 4997
Le mois de naissance est le nombre que l’on ajoute à 4997 pour obtenir un nombre divisible par 1000. On doit ajouter 3 car 4997 + 3 = 5000. 

Mars est donc le mois de naissance.
En divisant 5000 par 1000 on obtient le jour de naissance . 5000 : 1000 = 5.

5 est donc le jour de naissance.