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Exercice corrigé type Bac - Probabilités et suites

Les probabilités et suites au centre de cet exercice de maths niveau terminale dont ton prof de soutien scolaire te propose ce corrigé.

Énoncé de cet exercice de maths

Un commerçant constate que parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90% d’entre eux achètent un melon la semaine suivante.
Parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée 60% d’entre eux n’achètent pas de melon la semaine suivante.
On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et pour , on note An l’événement “le client achète un melon au cours de la semaine n” et .On a ainsi P₁=1.

Corrigé de ce sujet type bac

1) Démontrer que P₃=0,85

Réponse:

Arbre de probabilités:

$P_{3}=P(A_{2}cap A_{3})+P(overline{A_{2}}cap A_{3})$ $P_{3}=0,9times0,9+0,1times0,4$ $P_{3}=0,85$

2) Sachant que le client achète un melon la semaine 3, quelle est la probabilité qu’il en ait acheté la semaine 2.

Réponse:

$P_{A3}(A2)=frac{P(A3cap A2)}{P(A3)}$ $P_{A3}(A2)=frac{0,81}{0,85}$ $P_{A3}(A2)=0,95$

3) Démontrer que , pour tout entier : $P_{n+1}=0,5P_{n}+0,4$

Réponse:

Arbre de probabilités:

$P_{n+1}=P(A_{n}cap A_{n+1})+P(overline{A_{n}}cap A_{n+1})$ $P_{n+1}=P_{n}times0,9+(1-P_{n})times0,4$ $P_{n+1}=0,9P_{n}+0,4-0,4P_{n}$ $P_{n+1}=0,5P_{n}+0,4$

4) Démontrer par récurrence que pour tout entier $ngeq1, P_{n}>0,8.$

Réponse:

Initialisation:
$P_{1}=1>0,8$ L’initialisation est vérifiée pour n=1

Hérédité:
Supposons que $P_{n}>0,8$ alors:Soit L’hérédité est vérifiée.La propriété est héréditaire et vraie pour n=1, elle est donc vraie pour tout

Conclusion: Pour tout entier $ngeq1 , P_{n}>0,8$ .

5) En déduire que la suite $(P_{n})$ est décroissante.
La suite $(P_{n})$ est-elle convergente?

Réponse:

$P_{n+1}-P_{n}=-0,5P_{n}+0,4$ $P_{n}>0,8$ donc $-0,5P_{n}<-0,4$ et donc $-0,5P_{n}+0,4<0$ Par conséquent : $P_{n+1}-P_{n}<0$

Conclusion : (P_n) est décroissante.

La suite (P_n) est minorée et décroissante, elle est donc convergente.

6) On pose pour tout entier $V_{n}=P_{n}-0,8$ .

Démonter que est géométrique.

Réponse:

$V_{n}=P_{n}-0,8$ $V_{n+1}=P_{n+1}-0,8=0,5P_{n}-0,4=0,5(P_{n}-0,8)$ Donc : $V_{n+1}=0,5V_{n}$

est une suite géométrique de raison
et de 1er terme $V_{1}=P_{1}-0,8=1-0,8=0,2$

Exprimer $V_{n}$ puis $P_{n}$ en fonction de n.

Réponse:

$Vn=0,2times0,5^{n-1}$ et $P_{n}=V_{n}+0,8$

Soit $P_{n}=0,2times0,5^{n-1}+0,8$

En déduire la limite de $(P_{n})$ .

Réponse

$((V_{n})$ suite géométrique de raison soit . $lim(V_{n})=0$

et par conséquent $lim(P_{n})=0,8$

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