Problème du carré et des 2 triangles équilatéraux :comment montrer que les points D, E et F sont alignés ?

Réponse :

Géométrie, coordonnées et vecteurs colinéaires au centre de cet exercice de maths niveau seconde corrigé par ton prof de soutien scolaire en ligne.


Le problème récurrent du carré et des deux triangles équilatéraux fait l'objet d'une explication et d'un corrigé.


Énoncé de ce sujet de maths niveau seconde


Le problème :
Soit un carré ABCD et deux triangles équilatéraux AEB et BFC, comme sur la figure ci-dessous.

Problème du carré et des deux triangles équilatéraux - Exercice de maths corrigé

Comment montrer que les points D, E et F sont alignés.



Corrigé de l'exercice de géométrie


1ere méthode : Avec des angles :

Géométrie, coordonnées et vecteurs colinéaires, exercice de maths niveau seconde

Le triangle ADE esi isocèle en A donc:
\widehat{AED}=\frac{(180{^\circ}-30{^\circ})}{2}=75{^\circ}

\widehat{EBF}=30{^\circ}+60{^\circ}=90{^\circ} 

et BE=BF 

doncLe triangle BEF est rectangle isocèle en B 

et par conséquent:\widehat{BEF}=45{^\circ}


On a donc: \widehat{DEF}=75{^\circ}+60{^\circ}+45{^\circ}=180{^\circ}


Les points D, E, F sont donc alignés.


2eme méthode : Avec un repère et des vecteurs colinéaires :

Sujet corrigé d'un exercice de maths niveau seconde

Rappel : hauteur d’un triangle équilatéral de côté égal à 1: \frac{\sqrt{3}}{2}

On choisit le repère (A,\vec{AB},\vec{AD})


Coordonnées des points:

A(0;0)

B(1;0)

C(1;1)

D(0;1)

E(\frac{1}{2;};\frac{\sqrt{3}}{2})

F(1+\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}


Coordonnées des vecteurs:

\vec{DE} (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}-1)

\vec{DF} (1+\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})


Condition de colinéarité:

X\times Y'=X'\times Y

X\times Y'=\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}

X'\times Y=(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)\times(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}


La condition de colinéarité est bien vérifiée, les vecteurs DE et DF sont colinéaires,
et donc les points D, E et F sont alignés.
 

Cette question a été utile ?

Moyenne de 5 sur 5 pour 4 votes.
En poursuivant votre visite sur ce site, vous acceptez l'utilisation de traceurs pour réaliser des statistiques de vos visites. Lire la politique de confidentialité.