Comment étudier une fonction exponentielle puis calculer une intégrale?

Réponse :

Cet exercice de maths niveau lycée se présente sous la forme d'un corrigé de bac. Il t'explique comment étudier une fonction exponentielle puis calculer une intégrale.


Ton prof de soutien scolaire en ligne te propose ce corrigé de bac maths Amérique du Sud 2019, exercice 2, sur l'étude d'une fonction exponentielle.


Énoncé de ce sujet de bac


corrigé bac maths calculer une intégrale avec la fonction exponentielle ?

Comment calculer une intégrale avec la fonction exponentielle ?

Corrigé de l'exercice


Réponse:

a) f(0)=2

Le taux de vasopressine dans le sang à l’instant t=0 est de 2\mu g/mL


b) Calculons f(12)

f(12)=3\times12\times e^{-3}+2\sim3,79

Le taux de vasopressine dans le sang douze secondes après une hémorragie est de 3,79\mu g/mL>2,5\mu g/mL.
Ce taux est donc anormal.


c) f(t)=-12\times(-\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}t})+2

Soit: T=-\frac{1}{4}t

lim_{t\shortrightarrow+\infty}T=-\inftydonc lim_{t\shortrightarrow+\infty}T

Et lim_{t\shortrightarrow+\infty}(-\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}t})=0

Donc :lim_{t\shortrightarrow+\infty}f(t)=2

Quand le temps augmente, le taux de vasopressine dans le sang se rapproche de 2\mu g/mL.


Réponse:

f'(t)=3\times e^{-\frac{1}{4}t}+3t(-\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}t})

f'(t)=e^{-\frac{1}{4}t}(3-\frac{3t}{4})

f'(t)=\frac{3}{4}e^{-\frac{1}{4}t}(4-t)


exercice de maths sur taux de vasopressine

a)  e^{-\frac{1}{4}t}>0 donc f'(t) du signe de 4-t.

f est croissante sur [0; 4 [ et décroissante sur [4;+\infty5[


Tableau de variation:

corrigé exercice de maths terminale sur fonction exponentielle

f(4)=12e^{-1}+2\sim6,41


Le taux de vasopressine est maximal au bout de 4 minutes; 
ce taux maximal est de 6,41\mu g/ml.


Réponse:


a) f(0)=2 etf(4)\sim6,41f est définie, continue et monotone sur [0;4]2,5\in[f(0);f(4)]donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,il existe t_{0} unique appartenant à [0 ; 4) tel que f(t_{0})=2,5.


Valeur approchée à 10^{-3} près: 0,174


b) Temps durant lequel, chez une personne victime d’une hémorragie,le taux de vasopressine reste supérieur à 2,5\mu g/ml:

18,930-0,174=18,756.minutes soit : 18 minutes 45 secondes.


Réponse:

a) F'(t)=-12e^{-\frac{1}{4}t}-12(t+4)(-\frac{1}{4})e^{-\frac{1}{4}t}+2

F'(t)=-12e^{-\frac{1}{4}t}+3t^{e-\frac{1}{4}t}+-12e^{-\frac{1}{4}t}+2

F'(t)=t^{e-\frac{1}{4}t}+-12e^{-\frac{1}{4}t}+2

F'(t)=f(t)

Donc F'(t) est une primitive de f(t)


Valeur approchée de :\smallint_{t_{0}}^{t_{1}}f(t)dt=F(t_{1})-F(t_{0})=83 à l’unité près.


b) Valeur du taux moyen de vasopressine: :


 \frac{1}{t_{1}-t_{0}}\smallint_{t_{0}}^{t_{1}}f(t)dt=\frac{1}{18,756}\times83<em><strong>=4,4\mu g/mlà 0,1 près


En complément:


Courbe correspondant à cet exercice de maths, et vérification de certains résultats.


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