Corrigé Bac S Maths Amérique du Sud 2019

Comment réussir ce sujet de bac de mathématiques niveau scientifique sur les suites numériques ?

Réponse :

Ce sujet de bac 2019 sur les suites numériques objet d'un corrigé complet proposé par ton prof de soutien scolaire en ligne.

Sujet et corrigé bac sur les suites numériques

On considère la suite $(U_{n})$ définie par : $U_{n+1}=3-\frac{10}{U_{n}+4}$ et $U_{0}=5$

Partie A :

1) Déterminer la valeur exacte de $U_{1}$ et de $U_{2}$

Réponse:

$U_{1}=3-\frac{10}{U_{0}+4}=3-\frac{10}{9}=\frac{17}{9}$

$U_{2}=3-\frac{10}{\frac{17}{9}+4}=\frac{69}{53}$

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $Un\geq1$

Réponse:

Initialisation: $U_{0}\geq1$ ,donc la propriété est vraie pour n=0

Hérédité: On suppose que $U_{n}\geq1$

alors: $U_{n}+4\geq5$

$\frac{1}{U_{n}+4}\geq\frac{1}{5}$

$-\frac{10}{U_{n}+4}\geq-2$ et $3-\frac{10}{U_{n}+4}\geq1$

si $U_{n}\geq1$ alors $U_{n+1}\geq1$ , l’hérédité est vérifiée.

Conclusion : La propriété est héréditaire et vraie pour n=0, elle donc vraie pour tout entier naturel n.

Donc: $U_{n}\geq1$ pour tout entier naturel n

3) Démontrer que, pour tout entier naturel n, $U_{n+1}-U_{n}=\frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}$

Réponse:

$U_{n+1}-U_{n}=3-\frac{10}{U_{n}+4}-U_{n}$

$=\frac{3U_{n}+12-10-U_{n}{{}^2}-4Un}{U_{n}+4}$

$=\frac{-U_{n}^{2}-U_{n}+2}{U_{n}+4}$

$=\frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}$

4) En déduire le sens de variation de la suite $(U_{n})$

Réponse:

$U_{n}+2\geq0; U_{n}+4\geq0$

et $1-U_{n}\leq0$

donc $U_{n+1}-U_{n}\leq0$ , La suite est décroissante.

5) Justifier que la suite $(U_{n})$ converge.

Réponse:

La suite est minorée par 1 et décroissante, elle est donc convergente.

Partie B :

On considère la suite $(V_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}$

a) Démontrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme.

Réponse:

$V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}$ donc $V_{n+1}=\frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+2}$

$V_{n+1}=\frac{3-\frac{10}{U_{n}+4}-1}{3-\frac{10}{U_{n}+4}+2}$

Soit: $V_{n+1}=\frac{2U_{n}-2}{5U_{n}+10}$

$V_{n+1}=\frac{2}{5}(\frac{Un-1}{U_{n}+2})=\frac{2}{5}V_{n}$

$(V_{n})$ suite géométrique de raison $q=\frac{2}{5}$ et de 1er terme $V_{0}=\frac{U_{0}-1}{U_{0}+2}=\frac{4}{7}$

b) Exprimer $V_{n}$ en fonction de n.

Réponse:

$V_{n}=V_{0}\times q^{n}=\frac{4}{7}\times0,4^{n}$

En déduire que pour tout entier naturel n , $V_{n}\neq1$ .

Réponse:

$V_{0}=\frac{4}{7}<1$ et $0,4^{n}\leq1$ donc $\frac{4}{7}\times0,4^{n}<1$ et par conséquent: $Vn\neq1$

2) Démontrer que, pour tout entier naturel n , $U_{n}=\frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}$ .

Réponse:

$Vn=\frac{Un-1}{Un+2}$

donc: $U_{n}-1=V_{n}(U_{n}+2)$

Soit : $U_{n}-U_{n}\times V_{n}=2V_{n}+1$

Et par conséquent: $U_{n}=\frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}$

3) En déduire la limite de la suite $(U_{n})$ .

Réponse:

$(V_{n})$ est une suite géométrique de raison .

donc $lim(V_{n})=0$

Et par conséquent : $lim(U_{n})=1$ .

Partie C :

On considère l’algorithme ci-contre:

1) Après l’exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable n?

Réponse:

L’algorithme s’arrête lorsque $U_{n}<1,01$ .On cherche donc le 1er terme où la valeur de $U_{n}<1,01$ .La calculatrice donne: $U_{5}\simeq1,0176$ et $U_{6}\simeq1,007$ .

Donc la valeur contenue dans n est 6.

2) A l’aide des parties A et B interpréter cette valeur.

Réponse:

Nous avons vu dans les parties A et B que $(U_{n})$ est décroissante et que ,
donc les valeurs de Un diminuent es se rapprochent de 1.
Cet algorithme affiche donc la 1ere valeur de n pour laquelle $U_{n}<1,01$ ,
le résultat est cohérent avec la limite de $(U_{n})$ trouvée dans la partie B.