Comment réussir ce sujet de bac de mathématiques niveau scientifique sur les suites numériques ?

Réponse :

Ce sujet de bac 2019 sur les suites numériques objet d'un corrigé complet proposé par ton prof de soutien scolaire en ligne.


Sujet et corrigé bac sur les suites numériques


On considère la suite (U_{n}) définie par : U_{n+1}=3-\frac{10}{U_{n}+4} et U_{0}=5


Partie A :


1) Déterminer la valeur exacte de U_{1} et de U_{2}


Réponse:

U_{1}=3-\frac{10}{U_{0}+4}=3-\frac{10}{9}=\frac{17}{9}


U_{2}=3-\frac{10}{\frac{17}{9}+4}=\frac{69}{53}


2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un\geq1


Réponse:

Initialisation: U_{0}\geq1 ,donc la propriété est vraie pour n=0

Hérédité: On suppose que U_{n}\geq1

alors: U_{n}+4\geq5


\frac{1}{U_{n}+4}\geq\frac{1}{5}


-\frac{10}{U_{n}+4}\geq-2et 3-\frac{10}{U_{n}+4}\geq1


si U_{n}\geq1 alors U_{n+1}\geq1, l’hérédité est vérifiée.


Conclusion : La propriété est héréditaire et vraie pour n=0, elle donc vraie pour tout entier naturel n.

Donc: U_{n}\geq1 pour tout entier naturel n


3) Démontrer que, pour tout entier naturel n, U_{n+1}-U_{n}=\frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}


Réponse:

U_{n+1}-U_{n}=3-\frac{10}{U_{n}+4}-U_{n}


=\frac{3U_{n}+12-10-U_{n}{{}^2}-4Un}{U_{n}+4}


=\frac{-U_{n}^{2}-U_{n}+2}{U_{n}+4}


=\frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}


4) En déduire le sens de variation de la suite (U_{n})


Réponse:

U_{n}+2\geq0; U_{n}+4\geq0

et 1-U_{n}\leq0


donc U_{n+1}-U_{n}\leq0, La suite (Un ) est décroissante.


5) Justifier que la suite (U_{n}) converge.


Réponse:

La suite (Un ) est minorée par 1 et décroissante, elle est donc convergente.


Partie B :


On considère la suite (V_{n}) définie pour tout entier naturel n par V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}


1)

a) Démontrer que (V_{n}) est une suite géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme.


Réponse:

V_{n}=\frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}  donc  V_{n+1}=\frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+2}


V_{n+1}=\frac{3-\frac{10}{U_{n}+4}-1}{3-\frac{10}{U_{n}+4}+2}


Soit: V_{n+1}=\frac{2U_{n}-2}{5U_{n}+10}


V_{n+1}=\frac{2}{5}(\frac{Un-1}{U_{n}+2})=\frac{2}{5}V_{n}


(V_{n}) suite géométrique de raison q=\frac{2}{5} et de 1er terme V_{0}=\frac{U_{0}-1}{U_{0}+2}=\frac{4}{7}


b) Exprimer V_{n} en fonction de n.


Réponse:

V_{n}=V_{0}\times q^{n}=\frac{4}{7}\times0,4^{n}


En déduire que pour tout entier naturel n , V_{n}\neq1.


Réponse:

V_{0}=\frac{4}{7}<1 et 0,4^{n}\leq1 donc \frac{4}{7}\times0,4^{n}<1 et par conséquent: Vn\neq1


2) Démontrer que, pour tout entier naturel n , U_{n}=\frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}.


Réponse:

Vn=\frac{Un-1}{Un+2}


donc: U_{n}-1=V_{n}(U_{n}+2)


Soit : U_{n}-U_{n}\times V_{n}=2V_{n}+1

Et par conséquent: U_{n}=\frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}


3) En déduire la limite de la suite(U_{n}).


Réponse:

(V_{n}) est une suite géométrique de raison q=0,4.

0<0,4<1 donc lim(V_{n})=0


Et par conséquent : lim(U_{n})=1.


Partie C :


On considère l’algorithme ci-contre:


Corrigé Bac S Amérique du Sud 2019 - Suites numériques


1) Après l’exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable n?


Réponse:

L’algorithme s’arrête lorsque U_{n}<1,01.On cherche donc le 1er terme où la valeur de U_{n}<1,01.La calculatrice donne: U_{5}\simeq1,0176 et U_{6}\simeq1,007.

Donc la valeur contenue dans n est 6.


2) A l’aide des parties A et B interpréter cette valeur.


Réponse:

Nous avons vu dans les parties A et B que (U_{n}) est décroissante et que lim(Un)=1,
donc les valeurs de Un diminuent es se rapprochent de 1.
Cet algorithme affiche donc la 1ere valeur de n pour laquelle U_{n}<1,01,
 le résultat est cohérent avec la limite de (U_{n}) trouvée dans la partie B.

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