Comment déterminer une approximation de Pi par la méthode d’Archimède et par la méthode de Monte Carlo ? 

Réponse :

Archimède, Monte Carlo.... Dans ce cours de maths niveau lycée (seconde) ton prof de soutien scolaire en ligne t'explique comment déterminer une approximation de π avec Python.


Méthode d’Archimède


Le nombre π est la circonférence d’un cercle de diamètre 1.
L’idée d’ARCHIMÈDE fût donc d’encadrer ce nombre π par les périmètres de polygones inscrits ou circonscrits à ce cercle.

Méthode d'Archimède pour déterminer une approximation de π

On note P1 (n) la valeur du périmètre du polygone régulier intérieur à n côtés et P2 (n)
celle du polygone régulier extérieur à n côtés.

1.À l’aide de la figure, justifier queP_{1}(6)=6.

Comment déterminer une approximation de Pi par la méthode d’Archimède

Réponse: Le périmètre de l’hexagone est ègal à :6\times R=6\times1=6


2. En sachant que tan30{^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}, justifier que P_{2}(6)=4\sqrt{3}

Réponse: Dans le triangle A’I’O rectangle en I’ on a : tan30{^\circ}=\frac{A'I'}{OI'}=A'I'

Et donc : A'B'=2\times A'I'=2\times tan30{^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}

P2(6)=6\times A'B'=4\sqrt{3}


En déduire une première approximation de π.

6<2\pi<4\sqrt{3}

Soit encore : 3<\pi<2\sqrt{3}

On a donc : 3<\pi<3,5

On admet pour la suite que: P_{1}(n)=2\times n\times sin\frac{180}{n} et P_{2}(n)=2\times n\times tan(\frac{180}{n})


Utilisation d’un tableur :

Créons une feuille de calcul permettant de calculer P_{1}/2 et P_{2}/2 en fonction de n.

utiliser un tableur pour déterminer une approximation de π

Formule de B2: =2*A2*sin(radians(180/A2))/2   et Formule de C2: =2*A2*tan(radians(180/A2))/2
Remarque : Les fonctions trigonométriques du tableur attendent des angles en radian,donc, si on veut calculer la valeur du sinus de 130°, on écrira : =sin(RADIANS(130)).
Dans la colonne D, on affiche la différence entre P1 et P2.


Avec un algorithme :

On souhaite créer un programme en langage Python, permettant de calculer une approximation de π avec une précision p donnée.
Dans l’algorithme suivant, écrit en langage naturel à compléter),on note n le nombre de côtés des deux polygone et P1 et P2 correspondent respectivement aux périmètres P1(n )et P2(n).

créer un programme en langage Python pour calculer une approximation de π

Programmons cet algorithme avec Python :

programmation algorithme Python, cours de maths niveau seconde

Pour p=1:

Pour p=5:


Programme Python_Archimède


Méthode de Monte Carlo

Le principe de la méthode de Monte-Carlo est de tirer au hasard des coordonnées x et y d’un point M, chacune dans l’intervalle [0;1[.


 Méthode de Monte Carlo déterminer une approximation de π


Pour que le point M appartienne au quart de disque D de centre (0,0) et de rayon , il faut que:OM{{}^2}=x{{}^2}+y{{}^2}<1.Soit N le nombre de points, et n celui dans le quart de disque.Le rapport\frac{n}{N} donne une approximation du quotient \frac{Aireduquartdedisque}{Aireducarr\acute{e}}

On a donc : \frac{n}{N}=\frac{1/4\times\pi\times1{{}^2}}{1{{}^2}}

Donc: \frac{n}{N}=\frac{\pi}{4}.

Par conséquent \frac{4n}{N} donne une approximation de \pi.

Programmons cet algorithme avec Python :

 Monte Carlo, préparation algorithme avec Python

On obtient par exemple pour N=100 000 :


Programme Python_Monte-carlo

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