Comment déterminer la valeur approchée de racine(2) par la méthode de Héron ?

Réponse :

Ton prof de soutien scolaire en ligne t'aide à déterminer la valeur approchée de racine(2) par la méthode de Héron, avec un tableur et en créant un algorithme sous Python.


Ce cours de maths associe méthodes traditionnelle (Héron) et moderne (Python) pour déterminer la valeur approchée de racine(2).


Rappel historique : Formule de Héron


Il existe un très ancien document babylonien donnant une approximation de la racine de 2 sous la forme 1 24 51 10 en sexagésimal, c’est-à-dire, en décimal :
1,414 212 963, au lieu de 1,414 213 562.
Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carrée de A c’est trouver un carré dont l’aire est A
A partir d’un rectangleR_{1} de longueur a_{0} et de largeur \frac{A}{a_{0}}, on prend un nouveau rectangle R_{2}dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit: \frac{a_{0}+\frac{A}{a_{0}}}{2}, et dont l’aire reste A. En itérant le processus on se rapproche d’un carré d’aire A.La figure suivante illustre cette technique:


qu'est-ce que la formule de Héron en mathématiques?


1ere méthode : formule de Héron :a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{A}{a_{n}}\right)

Cellule A2=1

Cellule B2: =\frac{2}{A_{2}}

Cellule A3: =\frac{(A2+B2)}{2}

Puis on étire vers le bas.

On obtient:


Comment déterminer la valeur approchée de racine(2) par la méthode de Héron ?


2eme méthode : algorithme

Langage Naturel:
Saisir le réel p (précision sous la forme 10^{-p})

Affecter à a la valeur 1

Affecter à b la valeur 2
Tant que (b\lyxmathsym{-}a)>10^{-p}

         Affecter à a la valeur 

          Affecter à b la valeur \frac{2}{a}

Fin Tant que

Afficher a et b


Programme Python Racine(2)


Pour aller plus loin:
Modifier le programme précédent pour obtenir la valeur approchée de \sqrt{N}.

Programme Python Racine (N)


Pour la 1ere spécialité Maths :


Utilisation d’une suite (Suite de Héron)


Soit la suite définie par: U_{n+1}=1/2(U_{n}+A/U_{n})On prend A = 2
a) Calculer U_{1}, U2 et U_{3}(valeurs approchées à  0,001 près).
b) Soit le programme ci_dessous, donnant la valeur de U_{n} , écrit en langage naturel :

1ere spé maths : utilisation d’une suite (Suite de Héron)

Que semble calculer la suite (U_{n})?


Programme Python


Réponses:

a) U1=1,5 ; U2=1,417 ;   U3=1,414

b) Le programme calcule une valeur approchée de racine(A)



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