Comment trouver les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle, en utilisant  la somme et le produit de deux nombres ?

Réponse :

Ton prof de soutien scolaire en ligne de maths te propose de trouver deux nombres en connaissant leur somme et leur produit. 

Puis vérifier le résultat en utilisant un algorithme sous Python.


Tu as choisi la spécialité mathématiques pour ta préparation bac, découvre ce cours de maths niveau première doté d'un exercice corrigé.


Rappel de cours.


Solution de l’équation du second degré.


Soit P un polynôme du second degré défini par P(x)=ax{{}^2}+bx+c

Le discriminant de P est le nombre réel noté \Delta et égal à b{{}^2}-4ac

si \Delta<0 l’équation P(x)=0 n’a pas de solution réelle.

si \Delta=0 l’équation P(x)=0 a une seule solution :x_{0}=\frac{-b}{2a}.

si \Delta>0 l’équation P(x)=0 a deux solutions x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\varDelta}}{2a} etx_{2}=\frac{-b+\sqrt{\varDelta}}{2a}.


Factorisation d’un polynôme du second degré.


si \Delta<0 on ne peut pas factoriser P.

si \Delta=0  P(x)=a\left(x-x_{0}\right){{}^2}.

si \Delta>0 P(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).


Somme et produit des racines.


Si on note S=x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} et P=x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}.

Chercher deux nombres dont on connait la somme S et le produit P revient à chercher les racines du polynôme : x{{}^2}-Sx+P


Énoncé de cet exercice de maths


Un triangle rectangle a une aire de 210 cm² et une hypoténuse qui mesure 37 cm.
Quelles sont les dimensions de ce triangle?



Corrigé de l'exercice


Soient x et y les longueurs des deux côtés de l’angle droit.

L’aire du triangle s’exprime par : \frac{xy}{2}.

Or l’aire du triangle est égale à 210 cm².

On a donc : \frac{xy}{2}=210. Soit :  xy=420

D’après le théorème de Pythagore on a : x{{}^2}+y{{}^2}=37{{}^2}. Soit : x{{}^2}+y{{}^2}=1369.

On a : \left(x+y\right)^{2}=x{{}^2}+y{{}^2}+2xy.

Soit : \left(x+y\right)^{2}=1369+2\times420=2209.

On en déduit que : x+y=\sqrt{2209}=47.


On cherche donc deux nombres dont la somme vaut 47 et le produit 420.


Ces deux nombres sont solutions de l’équation : x{{}^2}-47x+420=0.

On a : a= 1 ; b= -47 ; et c = 420.

Le discriminant \varDelta=(-47){{}^2}-4\times1\times420=529.

Le discriminant est positif, l’équation a deux solutions :

x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\varDelta}}{2a}=\frac{47+\sqrt{529}}{2}=35.

x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\varDelta}}{2a}=\frac{47-\sqrt{529}}{2}=12.


Conclusion : les deux côtés de l’angle droit mesurent 35 cm et 12 cm.


  Second degré avec Python

Algorithme Python: Résolution de l’équation du second degré
Algorithme Python: Déterminer 2 nombres dont on connaît la somme et le produit
Algorithme Python: Racine évidente - Calculer la 2eme racine


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Vrai Faux sur le second degré



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