Comment utiliser le raisonnement par récurrence pour répondre à certaines questions d'un Vrai Faux ?

Réponse :

Découvre ce cours de mathématiques niveau lycée sous forme de vrai faux sur le raisonnement par récurrence.


Aujourd'hui ton prof de soutien scolaire en ligne te propose un vrai faux de mathématiques


Rappel de cours sur la récurrence


Méthode:

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n, et n0  un entier naturel fixé.
Pour démontrer que P(n) est vraie pour tout entier nn0 on procède en trois étapes :

        1) Première étape : initialisation de la propriété :
            On vérifie que P(n0) est vraie.

        2) Deuxième étape : caractère héréditaire de la propriété :

            On démontre que si la propriété P(n) est vraie pour un entier nn0 (hypothèse de             récurrence) alors P(n+1) est également vraie.  

        3) Troisième étape : conclusion :

                  On conclut, par récurrence, que la propriété P(n) est vraie pour tout entier nn0.



VRAI / FAUX :

On considère la suite (Un) (n ∈ N) définie par : Son premier terme U0 = 1 et la relation de récurrence: U_{n+1}=\frac{1}{3}U_{n}+2

Propositions :

1) La suite (Un) (n ∈ N) est majorée par 3.

2) La suite (Un) (n ∈ N) est croissante.

3)  La suite (Un) (n ∈ N) est minorée par 3.

4)  L'étude des premiers termes U0=1, U1≈2,3 et U2≈2,7 nous permet de dire que la suite (Un)
    (n ∈ N) est convergente.

5)  La suite (Un) est convergente.

6)   La limite de la suite (Un) est égale à 3.


Corrigé et réponses


Réponses:

1) Rappel : (Un) est majorée par 3 ⇔  Un  ≤  3

Démonstration par récurrence :
Initialisation : U0= 1, par conséquent U< 3
Hypothèse de récurrence : supposons que, quel que soit n ∈N, Un  ≤  3
nous pouvons écrire : U_{n}\leq3\iff\frac{1}{3}U_{n}\leq1
alors : \frac{1}{3}U_{n}+2\leq3
Conclusion : La suite est initialisée pour n=0 et héréditaire, par conséquent,
pour tout entier naturel n, on a Un ≤ 3,
et donc la suite (Un) (n ∈ N) est majorée par 3.
L'affirmation est donc vraie.


2) Démonstration par récurrence :
Initialisation : U_{0}=1 et U_{1}=\frac{7}{3} donc U_{1}>U_{0}.
Hypothèse de récurrence : supposons que, quel que soit n ∈N, Un+1  > Un 
La fonction f définie sur N telle que f(x)=\frac{1}{3}x+2 est croissante,
donc Un+1  > Un  ⇒ Un+2  > Un+1.
L’hérédité est donc vérifiée  pour tout entier naturel n.
Conclusion : La suite est initialisée pour n=0 et héréditaire, par conséquent, pour tout entier naturel n, on a Un+1  > Un  , et la suite (Un)   est donc croissante.
L'affirmation est donc vraie.


3) Rappel : Un est minorée par 3 ⇔  3  ≤  Un

On a :U_{n}\geq3\iff\frac{1}{3}3U_{n}\geq1\iff\frac{1}{3}U_{n}+2\geq3.

donc l’hérédité est vérifiée.
 Mais l'initialisation n'est pas bonne car U0 ≤ 3.
L'affirmation est donc fausse.

 

4) Les cas particuliers nous permettent d'invalider une hypothèse, jamais de la prouver.

L'affirmation est donc fausse.


5) La suite (Un)   est croissante et majorée, elle est donc convergente.
L'affirmation est donc vraie.


6) La suite (Un) est convergente, elle admet une limite l solution de l’équation :l=\frac{1}{3}l+2

soit : 3l=l+6
ou encore 2l=6
ce qui donne l=3
L'affirmation est donc vraie.

Cette question a été utile ?

Moyenne de 4 sur 5 pour 15 votes.