Utiliser le raisonnement par récurrence

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Rappel de cours sur la récurrence

Méthode:

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n, et n₀ un entier naturel fixé.
Pour démontrer que P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀ on procède en trois étapes :

1) Première étape : initialisation de la propriété :
On vérifie que P(n₀) est vraie.

2) Deuxième étape : caractère héréditaire de la propriété :

On démontre que si la propriété P(n) est vraie pour un entier n ≥ n₀ (hypothèse de récurrence) alors P(n+1) est également vraie.

3) Troisième étape : conclusion :

On conclut, par récurrence, que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀.

VRAI / FAUX :

On considère la suite (U_n) (n ∈ N) définie par : Son premier terme U₀ = 1 et la relation de récurrence: $U_{n+1}=frac{1}{3}U_{n}+2$

Propositions :

1) La suite (U_n) _{(n ∈ N)} est majorée par 3.

2) La suite (U_n)_{(n ∈ N)} est croissante.

3) La suite (U_n) _{(n ∈ N)} est minorée par 3.

4) L'étude des premiers termes U₀=1, U₁≈2,3 et U₂≈2,7 nous permet de dire que la suite (U_n)
(n ∈ N) est convergente.

5) La suite (U_n) est convergente.

6) La limite de la suite (U_n) est égale à 3.

Corrigé et réponses

Réponses:

1) Rappel : (U_n) est majorée par 3 ⇔ U_n≤ 3

Démonstration par récurrence :
Initialisation : U₀= 1, par conséquent U₀< 3
Hypothèse de récurrence : supposons que, quel que soit n ∈N, U_n≤ 3
nous pouvons écrire : $U_{n}leq3ifffrac{1}{3}U_{n}leq1$
alors : $frac{1}{3}U_{n}+2leq3$
Conclusion : La suite est initialisée pour n=0 et héréditaire, par conséquent,
pour tout entier naturel n, on a U_n ≤ 3,
et donc la suite (U_n) _{(n ∈ N)} est majorée par 3.
L'affirmation est donc vraie.

2) Démonstration par récurrence :
Initialisation : $U_{0}=1$ et $U_{1}=frac{7}{3}$ donc U_{0}" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" class="fr-fic fr-dii">.
Hypothèse de récurrence : supposons que, quel que soit n ∈N, U_n+1> U_n
La fonction f définie sur N telle que $f(x)=frac{1}{3}x+2$ est croissante,
donc U_n+1> U_n ⇒ U_n+2> U_n+1.L’hérédité est donc vérifiée pour tout entier naturel n.
Conclusion : La suite est initialisée pour n=0 et héréditaire, par conséquent, pour tout entier naturel n, on a U_n+1> U_n , et la suite (U_n) est donc croissante.
L'affirmation est donc vraie.