Comment réussir ce sujet de bac de mathématiques sur les Graphes probabilistes ?

Réponse :

Dans ce cours de maths niveau lycée, ton prof de soutien scolaire en ligne propose ce corrigé de bac 2019 sur les graphes probabilistes.


Révision bac 2020 avec ce sujet de bac corrigé tombé en 2019 en métropole.


Énoncé de ce sujet de maths

Corrigé de cet exercice de maths


a) Voici le graphe associé à la situation:

révision bac 2020 avec exercice de maths corrigé


b) Matrice de transition:\left(\begin{array}{cc} 0,8 & 0,2\\ 0,4 & 0,6 \end{array}\right)


2) a) Le 1er jour Julie prend la voie rapide donc :P_{1}=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{cc} 0 & 1\end{array}\end{array}\right)


b)M^{2}=\left(\begin{array}{cc} 0,72 & 0,28\\ 0,56 & 0,44 \end{array}\right)

P_{3}=P_{1}\times M^{2}=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{cc} 0 & 1\end{array}\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{cc} 0,72 & 0,28\\ 0,56 & 0,44 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \begin{array}{cc} 0,56 & 0,44\end{array}\end{array}\right)

La probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3eme jour est d3=0,56.


3) a)P_{n+1}=P_{n}\times M

P_{n+1}=\left(\begin{array}{cc} d_{n} & r_{n}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc} 0,8 & 0,2\\ 0,4 & 0,6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0,8d_{n}+0,4r_{n} & 0,2d_{n}+0,6r_{n}\end{array}\right)

On a donc :d_{n+1}=0,8d_{n}+0,4r_{n}

et r_{n+1}=0,2d_{n}+0,6r_{n}


b) Seul l’algorithme 3 donne d_{2},r_{2}\,puis\,d_{3},r_{3}


4) r_{n+1}=0,2d_{n}+0,6r_{n} et d_{n}=1-r_{n}

donc : r_{n+1}=0,2\left(1-r_{n}\right)+0,6r_{n}

Soit : r_{n+1}=0,4r_{n}+0,2


5) a) v_{n+1}=r_{n+1}-\frac{1}{3}=0,4r_{n}+0,2-\frac{1}{3}=0,4r_{n}-\frac{0,4}{3}

Soit v_{n+1}=0,4\left(r_{n}-\frac{1}{3}\right)

v_{n+1}=0,4v_{n}

\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison q=0,4 et de 1er termev_{1}=r_{1}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}


b) v_{n}=\frac{2}{3}0,4^{n-1} et r_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}0,4^{n-1}

0,4=\frac{2}{5}

donc  r_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{5}{2}\times0,4^{n}

et par conséquent r_{n}=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}\times0,4^{n}


c) Sur le long terme on peut donc prévoir que Julie empruntera la voie rapide 1 fois sur 3.

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