Comment réussir ce sujet de de mathématiques Bac S 2018 ?

Réponse :

Ton E-prof de soutien scolaire en ligne te propose la partie 2 du corrigé de l’épreuve de mathématiques Bac S 2018 donné en Amérique du Sud.


Corrigé mathématiques 2ième partie.

 

Exercice 4 (Nombres complexes)

Corrigé bac maths 2018 Nombres complexes

On a \left\{ \begin{array}{c} z_{A}+z_{C}=z_{B}+z_{D} \\ z_{A}+iz_{B}=z_{C}+iz_{D}% \end{array}% \right. \left. \begin{array}{c} (1) \\ (2)% \end{array}% \right.

De la relation (1) on tire : z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D} donc % \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

ABCD est un parallélogramme

De la relation (2) on tire : z_{A}-z_{C}=i\left( z_{D}-z_{B}\right)donc : \left\vert z_{A}-z_{C}\right\vert =\left\vert i\left( z_{D}-z_{B}\right) \right\vert

et par conséquent : AC=BD

ABCD est un rectangle (diagonales de même longueurs)

De la relation (2) on tire : z_{C}-z_{A}=i\left( z_{D}-z_{B}\right)donc \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}=-i

Par conséquent \arg \left( \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}\right) =-\frac{% \pi }{2} et \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right) =-\frac{% \pi }{2} soit encore (AC) et (BD) perpendiculaires.

ABCD est un losange (diagonales perpendiculaires)

ABCD est parallélogramme, rectangle et losange donc ABCD est un carré.



Corrigé exercice 5 Non spécialité (Suites, logarithmes)

Corrigé exercice 5 maths Suites, logarithmes

correction bac maths amérique du sud 2018

 

u_{2}=\frac{u_{1}^{2}}{ku_{0}}=\frac{k^{2}}{k}=k ; u_{3}=\frac{u_{2}^{2}}{% ku_{1}}=\frac{k^{2}}{k^{2}}=1 ; u_{4}=\frac{u_{3}^{2}}{ku_{2}}=\frac{1}{% k^{2}}

a) Formule: « =B3^2/($E$2*B2) »

b) Si k=2,7182818 alors \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( u_{n}\right) =0

Si k=0,9 alors \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( u_{n}\right) =+\infty

a) v_{n+1}-v_{n}=\ln \left( u_{n+2}\right) =\ln \left( u_{n+1}\right) -\ln \left( u_{n+1}\right) +\ln \left( u_{n}\right)

v_{n+1}-v_{n}=\ln \left( \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}\right) -\ln \left( \frac{% u_{n+1}}{u_{n}}\right). Or, \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}% \times \frac{1}{\func{e}}

Donc v_{n+1}-v_{n}=\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) \times \ln \left( \func{e}^{-1}\right) -\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) =\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) -1-\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}% \right) =-1

v_{0}=\ln \left( u_{1}\right) -\ln \left( u_{0}\right) =\ln \left( \func{e}% \right) -\ln \left( 1\right) =1

v_{n} est donc une suite arithmétique de 1er terme v_{0}=1 et de raison % r=-1

b) On a donc v_{n}=v_{0}+nr soit v_{n}=1-n

4) a) Somme des termes d’ une suite arithmétique = \frac{\left( \text{1er terme}+\text{dernier terme}\right) \times \text{nombre de termes}}{2}

v_{n-1}=1-n+1=2-n

Donc S_{n}=\left( \frac{1+2-n}{2}\right) \times n soit S_{n}=\frac{% n\left( 3-n\right) }{2}

b) v_{0}=\ln \left( u_{1}\right) -\ln \left( u_{0}\right) ; v_{1}=\ln \left( u_{2}\right) -\ln \left( u_{1}\right) etc.

donc S_{n}=\ln \left( u_{1}\right) -\ln \left( u_{0}\right) +\ln \left( u_{2}\right) -\ln \left( u_{1}\right) +...+\ln \left( u_{n}\right) -\ln \left( u_{n-1}\right)

S_{n}=-\ln \left( u_{0}\right) +\ln \left( u_{n}\right) =-\ln \left( 1\right) +\ln \left( u_{n}\right)

et S_{n}=\ln \left( u_{n}\right)

5) a) S_{n}=\ln \left( u_{n}\right) donc u_{n}=\func{e}^{S_{n}} soit % u_{n}=\func{e}^{\frac{n\left( 3-n\right) }{2}}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n\left( 3-n\right) }{2}% \right) =-\infty et donc \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( u_{n}\right) =0

b) Algorithme :

  • n prend la valeur 0
  • u prend la valeur 1
  • Tant que u>10^{-50}
    • u prend la valeur exp(n*(3-n)/2)
    • n prend la valeur n+1
  • Fin du temps que
  • Afficher n

On trouve n=17

Avec une inéquation : on résout u_{n}<10^{-50}.

\func{e}^{\frac{n\left( 3-n\right) }{2}}<10^{-50} soit : \ln \left( \func{% e}^{\frac{n\left( 3-n\right) }{2}}\right) <\ln \left( 10^{-50}\right)

n\left( 3-n\right) <2\ln \left( 10^{-50}\right) soit encore % -n^{2}+3n-2\ln \left( 10^{-50}\right) <0

On obtient : n>16,7.

La plus petite valeur de n telle que u_{n}<10^{-50} est donc n=17


Corrigé bac maths exercice 5 Spécialité (Arithmétiques, Récurrence)

Corrigé bac maths Arithmétiques, Récurrence)

soutien scolaire en ligne corrigé bac amérique sud 2018

Nombre de Fermat F_{n}=2^{\left( 2^{n}\right) }+1


Partie A :

1) a)

F_{0}=2^{\left( 2^{0}\right) }+1=2^{1}+1=3

F_{1}=2^{\left( 2^{1}\right) }+1=2^{2}+1=4

F_{2}=2^{\left( 2^{2}\right) }+1=2^{4}+1=17

F_{3}=2^{\left( 2^{3}\right) }+1=2^{8}+1=257

b) F_{0} ; F_{1} ; F_{2} ; et F_{3} sont premiers, mais on ne peut pas en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers.

2) On en déduit que 641 est le 1er entier supérieur ou égal à 2 qui divise % F_{5}. Or F_{5}>641 donc 641 est un diviseur strict de F_{5} et donc % F_{5} n’est pas premier.

Conclusion : les nombres de Fermat ne sont pas forcément premiers.


Partie B

Pour tout n>0 on a :

  \begin{eqnarray*} &&\left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1 \\ &=&\left( 2^{2^{n-1}}+1-1\right) ^{2}+1 \\ &=&\left( 2^{2^{n-1}}\right) ^{2}+1 \\ &=&2^{2^{n-1}\times 2^{1}} \\ &=&2^{2n-1+1}+1 \\ &=&2^{2n}+1 \end{eqnarray*}

On a donc \left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1=F_{n}

Montrons par récurrence la propriété :

\prod\limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Initialisation : Au rang n=1 on a \prod\limits_{i=0}^{0}F_{i}=F0=3 et % F_{1}-2=5-2=3

Hérédité : On suppose que pour n>0, on ait \prod% \limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Montrons qu’alors \prod\limits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2

\prod\limits_{i=0}^{n}F_{i}=\prod\limits_{i=0}^{n-1}F_{i}\times F_{n}=\left( F_{n}-2\right) \times F_{n}

Or, F_{n}=\left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1 soit F_{n}^{2}-2F_{n}+2

F_{n+1}-2=\left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1=F_{n}^{2}-2F_{n}

L’hérédité est donc vérifiée.

Conclusion : La propriété est vraie pour n=1 et héréditaire, donc pour tout n>0 on a \prod\limits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2.

D’après la question précédente \U{2236} \prod% \limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Soit

F_{0}\times F_{1}\times F_{2}\times ...\times F_{m}\times ...\times F_{n-1}=F_{n-2}

F_{m}\times F_{0}\times F_{1}\times F_{2}\times ...\times F_{m-1}\times F_{m+1}\times ...\times F_{n-1}=F_{n-2}

Soit encore F_{m}=\prod\limits_{\substack{ i=0 \\ i\neq m}}% ^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Notons q=\prod\limits_{\substack{ i=0 \\ i\neq m}}^{n-1}F_{i}

On obtient qF_{m}=F_{n}-2

Conclusion : Pour tout entier naturel n et m tels que n>m il existe un entier naturel q=\prod\limits_{\substack{ i=0 \\ i\neq m}}^{n-1}F_{i} tel que F_{n}-qF_{m}=2

4) Soit deux entiers naturels tels et m<n. D’après la question précédente il existe un entier naturel q tel que F_{n}-qF_{m}=2.

D’après le Théorème de Bézout, 2 est un multiple du PGCD de (Fm,Fn).

Un nombre de Fermat est une puissance de 2 augmentée de 1, donc c’est un
nombre impair.

On en déduit que PGCD de (Fm,Fn)=1 pour tout couple d’entiers naturels % (n,m) avec m<n

Conclusion : 2 nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.

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