Comment réussir le sujet de bac maths S 2019 sur les fonctions et suites ?

Réponse :

Établir une égalité, étudier une suite... retrouvez notre corrigé de bac maths 2019 Washington sur les fonctions et suites.


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Exercice 3 de ce sujet de bac


corrigé de bac maths 2019 Washington sur les fonctions et suites

Comment réussir le sujet de bac maths S 2019 sur les fonctions et suites ?


Corrigé de cet exercice 3


Partie A : établir une égalité


1.

f est dérivable car x est positif donc x + 1 > 0. Le logarithme ne pose alors aucun problème.

La dérivée de f est 

établir une égalité en maths terminale S

Pour x positif, le numérateur comme le dénominateur sont positifs. La dérivée est positive, et même strictement positive en dehors de x=0. Ainsi f est strictement croissante sur [ 0 ; +infini [


2.

f est croissante (question précédente) et f(0)=0 (calcul très simple à écrire sur sa copie). On en déduit que f est positive sur [ 0 ; +infini [.


Ainsi : corrigé bac maths sur les égalités



Partie B : application à l'étude d'une suite


1.


u0 = 0,039



2.a.


Montrons par récurrence que pour tout n entier naturel, u(n) >= 0.


Initialisation : u0 = 1 >= 0


Hérédité : supposons que pour un certain entier naturel n, on ait u(n) >= 0


Alors u(n+1) = u(n) - ln (u(n) + 1)  est positif d'après la question 2 de la partie A. Il suffit en effet de remplacer le x positif de cette question par u(n) pour en déduire la positivité de u(n+1).


Ainsi la propriété est initialisée et héréditaire, elle est donc vrai pour tout entier naturel n.  


2.b.


Soit un entier naturel n. On a : application d'un exercice de maths à l'étude d'une suite

Or vu que u(n) est positif (question 2.a), u(n) + 1 est supérieur à 1. Le logarithme étant croissant, on a : 

Donc : 

Et enfin : 

En conséquence de quoi la suite u est décroissante. Elle est donc majorée par son premier terme 1.


2.c


La suite u est croissante et minorée (par 0), donc elle converge.



3.


Résolvons l'équation proposée : 

Ainsi u converge vers 0.



4.a.


Entrer un entier naturel p

u prend la valeur 1

N prend la valeur 0

Tant que u>10^(-p), faire : 

    u prend la valeur u - ln(u+1)

    N prend la valeur N+1

Fin tant que

Renvoyer/afficher N



4.b.


On peut programmer l'algorithme sur sa calculatrice, ou dresser la table de la suite, ou même utiliser la fonction "rép/ans" de la calculatrice. Dans tous les cas, N=5 si p=15.

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