Comment interpréter l'état stable dans un graphe probabiliste en mathématiques ?

Réponse :

A partir d'un exercice de bac corrigé, suis ce cours de soutien scolaire en ligne de maths niveau lycée sur les graphes probabilistes.


Énoncé (d'après un exercice de bac)


Deux chaines de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes.

On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant.

La 1ere semaine 70% de ces téléspectateurs ont regardé la chaîne A.

Une étude statistiques montre que :

15% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante.

10% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante.

On note respectivement an et bn les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la nième semaine et Pn la matrice ligne ( an   bn). On a donc par exemple P1 = ( 0,7   0,3).


1a) Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation.

1b) Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.


2) Calculez M3 à l’aide de la calculatrice (Résultats arrondis à 10-3 près).
Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes lors de la 4eme semaine ?


3) On considère la matrice ligne P = (x   y) où x et y sont deux réels tels que x + y = 1

a) Déterminer x et y pour que P=P\times M

b) Interprétez les deux valeurs trouvées.


Corrigé de l'exercice


  • 1) a) Graphe probabiliste représentant la situation:

    cours de soutien scolaire en ligne de maths niveau lycée sur les graphes probabilistes
  • b) La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n non nul,  P_{n+1}=P_{n}\times Mest :exercice de bac corrigé de maths niveau sur les graphes probabilistes
  • 2) Calculons M3
    Utiliser les graphes probabilistes pour calculer des probabilités
    Soit P1 = (0,70   0,30) l'état probabiliste initial.
    L'état probabiliste de la 4ème semaine est : P_{4}=P_{1}\times M^{3}
    Lors de la 4eme semaine, 53% des téléspectateurs regardent la chaîne A
    et 47% la chaîne B.


  • 3 ) a)  Déterminons l'état stable du graphe probabiliste.
    Les termes de la matrice de transition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état probabiliste converge vers un état stable P= (x   y ) avec x + y = 1
    et vérifiant :

    L’état stable du système est donc : P = (0,40   0,60)  

    b) Interprétons le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice :
    A partir d’un certain nombre de semaines, 40% des téléspectateurs regarderont la chaîne A et 60% la chaîne B.


    Nos autres exercices corrigés sur les probabilités

    Calculer des probabilités avec la loi normale

    Calcul de probabilités avec la loi exponentielle

    Calculer des probabilités avec la loi uniforme


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