Fractions et phases du sommeil

Ce cours de mathématiques spécial collège te permet de comprendre l'utilisation des fractions à partir d'un exercice corrigé sur les phases du sommeil.

Corrigé de l'exercice de maths

1.Montrer que la proportion du sommeil léger est égale à 5/12 de la durée totale du sommeil .

Notons S pour durée totale du sommeil, SL pour sommeil léger, TE pour temps d’endormissement, SLP pour sommeil lent profond, SP pour sommeil paradoxal.

La différence entre la phase de sommeil léger et celle de sommeil lent profond représente 1/8 de la durée totale de sommeil . Ainsi SL – SLP = 1/8 S 
et  Sommeil lent profond :7/24 de la durée totale de sommeil . Ainsi  SLP = 7/24 S

Comme SL – SLP = 1/8 S  et  SLP =  7/24 S   alors  SL -  7/24 S =  1/8 S  et   SL = 1/8 S + 7/24 S

SL = (1/8 + 7/24) S     soit SL = ( 3/24 + 7/24 ) S  donc  SL = 10/24 S   et SL =  5/12 S
La proportion de sommeil léger est bien égale à 5/12 de la durée totale de sommeil . 

2. Un patient a passé 3.25h (c’est-à-dire 3h15 min) dans une phase de sommeil paradoxal. Quelle a été la durée totale de son sommeil ? 

On a S = TE + SL + SLP + SP

          S = 1/48 S + SL + 7/24 S + SP  et d’après la question précédente SL = 5/12 S 

       Ainsi S = 1/48 S  + 5/12 S  + 7/24 S + SP    S =(1/48 + 5/12 + 7/24 ) S + SP   

S = ( 1/48 +20/48 + 14/48) S + SP 

 S = 35/48 S  + SP    et SP = S  - 35/48 S      SP = ( 48/48 - 35/48) S   SP = 13/48 S

Le sommeil paradoxal représente donc 13/48 de la durée totale de sommeil.

Le patient a passé 3,25h dans cette phase , comme SP = 13/48 S  alors  48/13 SP = S

S = 48/13 × 3,25 = 12
La durée totale du sommeil du patient a été de 12 heures