Programme Python - Déterminer une approximation de π.

Archimède, Monte Carlo.... Dans ce cours de maths niveau lycée (seconde) ton prof de soutien scolaire en ligne t'explique comment déterminer une approximation de π avec Python.

Méthode d’Archimède

Le nombre π est la circonférence d’un cercle de diamètre 1.
L’idée d’ARCHIMÈDE fût donc d’encadrer ce nombre π par les périmètres de polygones inscrits ou circonscrits à ce cercle.

ae408fd0ac4b751fa38588e8f81c84f3274c5169

On note P1 (n) la valeur du périmètre du polygone régulier intérieur à n côtés et P2 (n)
celle du polygone régulier extérieur à n côtés.

1.À l’aide de la figure, justifier queP_{1}(6)=6.

accc7daddb9c1fe1c3fd3c5e2fe85ef1b0514e32

Réponse: Le périmètre de l’hexagone est ègal à :6times R=6times1=6

2. En sachant que tan30{^circ}=frac{sqrt{3}}{3}, justifier que P_{2}(6)=4sqrt{3}

Réponse: Dans le triangle A’I’O rectangle en I’ on a : tan30{^circ}=frac{A'I'}{OI'}=A'I'

Et donc : A'B'=2times A'I'=2times tan30{^circ}=frac{2sqrt{3}}{3}

P2(6)=6times A'B'=4sqrt{3}

En déduire une première approximation de π.

b983725d9e074256e3b880f4799a298a07d3c68c

Soit encore : d5efd2bd6c59621d0407b77ce938b05ae390c9f5

On a donc : 05b5c5951d9117ca4fc48247cce2e18378b6edb3

On admet pour la suite que: P_{1}(n)=2times ntimes sinfrac{180}{n} et P_{2}(n)=2times ntimes tan(frac{180}{n})

Utilisation d’un tableur :

Créons une feuille de calcul permettant de calculer P_{1}/2 et P_{2}/2 en fonction de n.

7da9e4af73e3f31750ae9ce7f80975a3618a2c69

Formule de B2: =2*A2*sin(radians(180/A2))/2   et Formule de C2: =2*A2*tan(radians(180/A2))/2
Remarque : Les fonctions trigonométriques du tableur attendent des angles en radian,donc, si on veut calculer la valeur du sinus de 130°, on écrira : =sin(RADIANS(130)).
Dans la colonne D, on affiche la différence entre P1 et P2.

Avec un algorithme :

On souhaite créer un programme en langage Python, permettant de calculer une approximation de π avec une précision p donnée.
Dans l’algorithme suivant, écrit en langage naturel à compléter),on note n le nombre de côtés des deux polygone et P1 et P2 correspondent respectivement aux périmètres P1(n )et P2(n).

créer un programme en langage Python pour calculer une approximation de π

Programmons cet algorithme avec Python :

54c0bfed4ba12543fb39437135b22cdeb0c1ab89

Pour p=1:

6199a67ed3c6c12444499e146f10bf8eb07247ac

Pour p=5:

dac70e03fc8c3f1dd74d3c82c82a73092e42f852

87d91235b42b179e89257740594859a61d125431

Programme Python_Archimède

Méthode de Monte Carlo

Le principe de la méthode de Monte-Carlo est de tirer au hasard des coordonnées x et y d’un point M, chacune dans l’intervalle [0;1[.

 Méthode de Monte Carlo déterminer une approximation de π

Pour que le point M appartienne au quart de disque D de centre (0,0) et de rayon , il faut que:cfa8ecb36c9ca57e207dae4059cb0ebc20b31bf9.Soit N le nombre de points, et n celui dans le quart de disque.Le rapportfrac{n}{N} donne une approximation du quotient frac{Aireduquartdedisque}{Aireducarracute{e}}

On a donc : frac{n}{N}=frac{1/4timespitimes1{{}^2}}{1{{}^2}}

Donc: frac{n}{N}=frac{pi}{4}.

Par conséquent frac{4n}{N} donne une approximation de pi.

Programmons cet algorithme avec Python :

 Monte Carlo, préparation algorithme avec Python

On obtient par exemple pour N=100 000 :

b47141a3cc049df01ffcc44ccc25cc7a446ce85d

Programme Python_Monte-carlo

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