Exercice corrigé - Utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer une propriété

Cet exercice corrigé de maths proposé par ton prof de soutien scolaire en ligne permet une révision du raisonnement par récurrence.

 

Dans le cadre de ta préparation bac, ce cours de maths niveau terminale t'explique comment utiliser le raisonnement par récurrence pour démontrer une propriété.

 

Énoncé de cet exercice de maths

 

Comment démontrer par récurrence que pour tout entier n et tout réel x positif,(1+x)^{n}ge1+nx?

 

 

Rappel : cours de maths sur la propriété

 

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier naturel n, et n_{0} un entier naturel fixé.

Pour démontrer que P(n) est vraie pour tout entier nge n_{0} on procède en trois étapes:

1) Première étape: initialisation de la propriété : On vérifie que P(n_{0}) est vraie.

2) Deuxième étape: caractère héréditaire de la propriété : On démontre que si la propriété P(n) est vraie pour un entier nge n_{0} (hypothèse de récurrence), alors P(n+1) est également vraie.

3) Troisième étape, conclusion: On conclut, par récurrence, que la propriété P(n) est vraie pour tout entier nge n_{0}.

 

Corrigé :

Notons P(n) la propriété «(1+x)^{n}ge1+nx ».

Il faut montrer que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n, c’est-à-dire il faut montrer que P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 0 (n_{0}=0 ici ).

Appliquons les trois étapes du raisonnement par récurrence à cet exemple :

 

1) Première étape : initialisation de la propriété.

 

Montrons que P(n_{0})=P(0) est vraie.

Pour n = 0, on a : (1+x)^{n}ge1+nx(1+x)^{0}ge1+0times x soit :  1 ≥ 1

Comme cette dernière inégalité est vraie, on a montré que P(0) est vraie.

 

2) Deuxième étape : caractère héréditaire de la propriété.

 

Admettons que P(n) soit vraie c’est-à-dire supposons que (1+x)^{n}ge1+nx(1).

Ceci sera notre hypothèse de récurrence.

Montrons qu’alors P(n+1) est vraie, c’est-à-dire montrons que (1+x)^{n}+1ge1+(n+1)x( on a remplacé n par n + 1 dans (1) ).

On a :(1+x)^{n}ge1+nxd’après l’hypothèse de récurrence (1)

(1 + x)n (1 + x) ge  (1 + nx )(1 + x)on multiplie chaque membre par la quantité positive 1 + x

(1 + x)n+1 ge  1 + x + nx + nx² après développement (1 + x)n+1 ge  1 + (n + 1)x + nx²car x + nx = (n + 1)x après factorisation

(1+x)^{n}+1ge1+(n+1)xcar nx{{}^2}>0 et A+Bge A si B>0

On vient de montrer que (1+x)^{n+1}ge1+(n+1)x, c’est-à-dire on vient de montrer que P(n+1) est vraie.

On a bien démontré que si P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie : l’hérédité est donc bien vérifiée.

 

3) Troisième étape : conclusion.

 

Comme la propriété P(n) est vraie pour n=n_{0}=0 et comme P(n) est héréditaire pour tout entier nge n_{0}=0,

on en déduit par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n ge  n_{0} = 0,

autrement dit on en déduit que :
pour tout entier n, (1+x)^{n}ge1+nx.

 

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