Exercice 1ere spécialité Maths - Probabilités conditionnelles, variables aléatoires

En lien avec la réforme du bac, découvre cet exercice en ligne, niveau 1ere spé maths, sur les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires.

Dans ce cours de mathématiques niveau lycée (première) ton prof de soutien scolaire en ligne te propose une préparation au nouveau bac 2021 avec ce sujet corrigé destiné aux spé maths.

Énoncé de cet exercice de maths

Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :
– un contrat « Tous risques » dont le montant annuel est de 500 € ;
– un contrat « de base » dont le montant annuel est de 400 €.

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :
– 60% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans). Les autres clients ont un véhicule ancien ;
– parmi les clients possédant un véhicule récent, 70% ont souscrit au contrat « Tous risques » ;
– parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50% ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.
D’ une manière générale, la probabilité d’un événement A est notée P(A) et son événement contraire est noté overline{A}.• R : « le client possède un véhicule récent » ;• T : « le client a souscrit au contrat « Tous risques ».
On note X la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

 

  • Construire un arbre pondéré.

  1. Construire l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.

Les données de l’exercice sont:

P(R)=0,6

P_{R}(T)=0,7

P_{overline{R}}(T)=0,5

d’où l’arbre pondéré de probabilité.

Exercice 1ere spécialité Maths - Probabilités conditionnelles, variables aléatoires.

  • Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

2) Calculer la probabilité qu’un client, pris au hasard, possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat  » Tous risques »

Réponse:

P(Rcap T)=P_{R}(T)times P(R)P(Rcap T)=0,6times0,7P(Rcap T)=0,42.

La probabilité qu’un client, pris au hasard, possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat “tous risques” est de 0,42.

  • Utiliser les formules des probabilités totales et 

    des probabilités conditionnelles.

3) a) Montrer que P(T)=0,62.

Réponse:

P(T)=P(Rcap T+P(overline{R}cap TP(T)=06times0,7+0,4times0,5P(T)=0,62

La probabilité que le client ait souscrit un contrat « tous risques » est de 0,62.

b) Calculer la probabilité que le client ait une voiture neuve, sachant qu’il a souscrit un contrat « tous « risques ».

Réponse:

P_{T}(R)=frac{P(Rcap T)}{P(T)}P_{T}(R)=frac{0.42}{0,62}
P_{T}(R)=0,68.

La probabilité que la client ait une voiture neuve, sachant qu’il a souscrit un contrat”tous risques” est de 0,68.

 

  • Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire et calculer l’espérance d’une variable aléatoire.

4) 

Déterminer la loi de probabilité de X

Réponse:

x_{i}

400500
P(X=x_{i})0,380,62

Calculer l’espérance de X et interpréter le résultat.

Réponse:

E(X)=0,38times400+0,62times500E(x)=462

Interprétation: La dépense moyenne d’un client souscrivant un contrat est de 462€.

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