Corrigé Bac S Maths Amérique du Sud 2019 - Suites numériques

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Sujet et corrigé bac sur les suites numériques

On considère la suite $(U_{n})$ définie par : $U_{n+1}=3-frac{10}{U_{n}+4}$ et $U_{0}=5$

Partie A :

1) Déterminer la valeur exacte de $U_{1}$ et de $U_{2}$

Réponse:

$U_{1}=3-frac{10}{U_{0}+4}=3-frac{10}{9}=frac{17}{9}$

$U_{2}=3-frac{10}{frac{17}{9}+4}=frac{69}{53}$

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

Réponse:

Initialisation: $U_{0}geq1$ ,donc la propriété est vraie pour n=0

Hérédité: On suppose que $U_{n}geq1$

alors: $U_{n}+4geq5$

$frac{1}{U_{n}+4}geqfrac{1}{5}$

$-frac{10}{U_{n}+4}geq-2$ et $3-frac{10}{U_{n}+4}geq1$

si $U_{n}geq1$ alors $U_{n+1}geq1$ , l’hérédité est vérifiée.

Conclusion : La propriété est héréditaire et vraie pour n=0, elle donc vraie pour tout entier naturel n.

Donc: $U_{n}geq1$ pour tout entier naturel n

3) Démontrer que, pour tout entier naturel n, $U_{n+1}-U_{n}=frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}$

Réponse:

$U_{n+1}-U_{n}=3-frac{10}{U_{n}+4}-U_{n}$

$=frac{3U_{n}+12-10-U_{n}{{}^2}-4Un}{U_{n}+4}$

$=frac{-U_{n}^{2}-U_{n}+2}{U_{n}+4}$

$=frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}$

4) En déduire le sens de variation de la suite $(U_{n})$

Réponse:

$U_{n}+2geq0; U_{n}+4geq0$

et $1-U_{n}leq0$

donc $U_{n+1}-U_{n}leq0$ , La suite est décroissante.

5) Justifier que la suite $(U_{n})$ converge.

Réponse:

La suite est minorée par 1 et décroissante, elle est donc convergente.

Partie B :

On considère la suite $(V_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $V_{n}=frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}$

a) Démontrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme.

Réponse:

$V_{n}=frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}$ donc $V_{n+1}=frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+2}$

$V_{n+1}=frac{3-frac{10}{U_{n}+4}-1}{3-frac{10}{U_{n}+4}+2}$

Soit: $V_{n+1}=frac{2U_{n}-2}{5U_{n}+10}$

$V_{n+1}=frac{2}{5}(frac{Un-1}{U_{n}+2})=frac{2}{5}V_{n}$

$(V_{n})$ suite géométrique de raison $q=frac{2}{5}$ et de 1er terme $V_{0}=frac{U_{0}-1}{U_{0}+2}=frac{4}{7}$

b) Exprimer $V_{n}$ en fonction de n.

Réponse:

$V_{n}=V_{0}times q^{n}=frac{4}{7}times0,4^{n}$

En déduire que pour tout entier naturel n , $V_{n}neq1$ .

Réponse:

$V_{0}=frac{4}{7}<1$ et $0,4^{n}leq1$ donc $frac{4}{7}times0,4^{n}<1$ et par conséquent:

2) Démontrer que, pour tout entier naturel n , $U_{n}=frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}$ .

Réponse:

$Vn=frac{Un-1}{Un+2}$

donc: $U_{n}-1=V_{n}(U_{n}+2)$

Soit : $U_{n}-U_{n}times V_{n}=2V_{n}+1$

Et par conséquent: $U_{n}=frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}$

3) En déduire la limite de la suite $(U_{n})$ .

Réponse:

$(V_{n})$ est une suite géométrique de raison .

donc $lim(V_{n})=0$

Et par conséquent : $lim(U_{n})=1$ .

Partie C :

On considère l’algorithme ci-contre:

1) Après l’exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable n?

Réponse:

L’algorithme s’arrête lorsque $U_{n}<1,01$ .On cherche donc le 1er terme où la valeur de $U_{n}<1,01$ .La calculatrice donne: $U_{5}simeq1,0176$ et $U_{6}simeq1,007$ .

Donc la valeur contenue dans n est 6.

2) A l’aide des parties A et B interpréter cette valeur.

Réponse:

Nous avons vu dans les parties A et B que $(U_{n})$ est décroissante et que ,
donc les valeurs de Un diminuent es se rapprochent de 1.
Cet algorithme affiche donc la 1ere valeur de n pour laquelle $U_{n}<1,01$ ,
le résultat est cohérent avec la limite de $(U_{n})$ trouvée dans la partie B.