Corrigé Bac S Maths Amérique du Sud 2019 - Suites numériques

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Sujet et corrigé bac sur les suites numériques

On considère la suite (U_{n}) définie par : U_{n+1}=3-frac{10}{U_{n}+4} et U_{0}=5

Partie A :

1) Déterminer la valeur exacte de U_{1} et de U_{2}

Réponse:

U_{1}=3-frac{10}{U_{0}+4}=3-frac{10}{9}=frac{17}{9}

U_{2}=3-frac{10}{frac{17}{9}+4}=frac{69}{53}

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Ungeq1

Réponse:

Initialisation: U_{0}geq1 ,donc la propriété est vraie pour n=0

Hérédité: On suppose que U_{n}geq1

alors: U_{n}+4geq5

frac{1}{U_{n}+4}geqfrac{1}{5}

-frac{10}{U_{n}+4}geq-2et 3-frac{10}{U_{n}+4}geq1

si U_{n}geq1 alors U_{n+1}geq1, l’hérédité est vérifiée.

Conclusion : La propriété est héréditaire et vraie pour n=0, elle donc vraie pour tout entier naturel n.

Donc: U_{n}geq1 pour tout entier naturel n

3) Démontrer que, pour tout entier naturel n, U_{n+1}-U_{n}=frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}

Réponse:

U_{n+1}-U_{n}=3-frac{10}{U_{n}+4}-U_{n}

=frac{3U_{n}+12-10-U_{n}{{}^2}-4Un}{U_{n}+4}

=frac{-U_{n}^{2}-U_{n}+2}{U_{n}+4}

=frac{(1-U_{n})(U_{n}+2)}{U_{n}+4}

4) En déduire le sens de variation de la suite (U_{n})

Réponse:

U_{n}+2geq0; U_{n}+4geq0

et 1-U_{n}leq0

donc U_{n+1}-U_{n}leq0, La suite (Un ) est décroissante.

5) Justifier que la suite (U_{n}) converge.

Réponse:

La suite (Un ) est minorée par 1 et décroissante, elle est donc convergente.

Partie B :

On considère la suite (V_{n}) définie pour tout entier naturel n par V_{n}=frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}

1)

a) Démontrer que (V_{n}) est une suite géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme.

Réponse:

V_{n}=frac{U_{n}-1}{U_{n}+2}  donc  V_{n+1}=frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+2}

V_{n+1}=frac{3-frac{10}{U_{n}+4}-1}{3-frac{10}{U_{n}+4}+2}

Soit: V_{n+1}=frac{2U_{n}-2}{5U_{n}+10}

V_{n+1}=frac{2}{5}(frac{Un-1}{U_{n}+2})=frac{2}{5}V_{n}

(V_{n}) suite géométrique de raison q=frac{2}{5} et de 1er terme V_{0}=frac{U_{0}-1}{U_{0}+2}=frac{4}{7}

b) Exprimer V_{n} en fonction de n.

Réponse:

V_{n}=V_{0}times q^{n}=frac{4}{7}times0,4^{n}

En déduire que pour tout entier naturel n , V_{n}neq1.

Réponse:

299c46cc92dc3c2473db84ef32c0841f2ad57ad4 et 0,4^{n}leq1 donc ff42db14faea8933f25576df73fe2e1b8b1a2e0f et par conséquent: Vnneq1

2) Démontrer que, pour tout entier naturel n , U_{n}=frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}.

Réponse:

Vn=frac{Un-1}{Un+2}

donc: U_{n}-1=V_{n}(U_{n}+2)

Soit : U_{n}-U_{n}times V_{n}=2V_{n}+1

Et par conséquent: U_{n}=frac{2V_{n}+1}{1-V_{n}}

3) En déduire la limite de la suite(U_{n}).

Réponse:

(V_{n}) est une suite géométrique de raison q=0,4.

9a1729a9d3616d36aa4a5590d855b99d9cc4c821 donc lim(V_{n})=0

Et par conséquent : lim(U_{n})=1.

Partie C :

On considère l’algorithme ci-contre:

Corrigé Bac S Amérique du Sud 2019 - Suites numériques

1) Après l’exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable n?

Réponse:

L’algorithme s’arrête lorsque ad8a48dcf5598bddd43a237a8985bf8a9438777e.On cherche donc le 1er terme où la valeur de 3825ac99c94f5bb31daec0b9de8a6a3e6fc028a8.La calculatrice donne: U_{5}simeq1,0176 et U_{6}simeq1,007.

Donc la valeur contenue dans n est 6.

2) A l’aide des parties A et B interpréter cette valeur.

Réponse:

Nous avons vu dans les parties A et B que (U_{n}) est décroissante et que lim(Un)=1,
donc les valeurs de Un diminuent es se rapprochent de 1.
Cet algorithme affiche donc la 1ere valeur de n pour laquelle 2d3aad94816c9186e49c1d4a1990f0ce871d5829,
 le résultat est cohérent avec la limite de (U_{n}) trouvée dans la partie B.

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