Corrigé Bac S maths 2018 – Amérique du sud (1)

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Corrigé 1ere partie.

Exercice 1

Partie A (Probabilités totales et conditionnelles)

1) On utilise la loi des probabilités totales :

On en déduit :

2) $P_{F}left( overline{B}right) =frac{P(overline{B}cap F)}{P(F)}=% frac{0,072}{0,54}simeq 0,133$ (soit 13,3 %)

3) On doit calculer : $P_{overline{B}}left( Fright) =frac{Pleft( overline{B}cap Fright) }{Pleft( overline{B}right) }=frac{0,072}{1-0,65% }simeq 0,206$ (soit 20,7 %)

Partie B (Loi normale)

On cherche $P_{X>95}=1-P_{X<95}$

Pour $P_{X<95}$ la calculatrice donne 0,994.

$P_{X>95}=0,006$

qquad On cherche tel que $P_{x<a}=0,02$

La calculatrice donne (valeur approchée au centième)

Cela signifie : la probabilité que la quantité de farine vendue chaque mois
soit inférieure à 86 kg est de 2%

Partie C (Intervalle de fluctuation asymptotique)

et .

On a bien , et

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

$left[ P-1,96times frac{sqrt{P(1-P)}}{sqrt{n}};P+1,96times frac{sqrt{% P(1-P)}}{sqrt{n}}right] simeq left[ 0,448;0,488right]$

Fréquence de l’échantillon : $f=frac{1025}{2500}=allowbreak 0,41$

n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, donc la clientèle n’estpas représentative des consommateurs en France.

Corrigé de l’exercice 2 (Fonctions exponentielles)

$f^{prime }left( xright) =10u^{prime }left( xright) func{e}^{uleft( xright) }$

avec $uleft( xright) =-func{e}^{2-frac{x}{10}}$ soit $u^{prime }left( xright) =frac{1}{10}func{e}^{2-frac{x}{10}}$ et par conséquent $% 10u^{prime }left( xright) =func{e}^{2-frac{x}{10}}=-uleft( xright)$

Donc $f^{prime }left( xright) =-uleft( xright) func{e}^{uleft( xright) }$

$func{e}^{2-frac{x}{10}}>0$ soit – $func{e}^{2-frac{x}{10}}<0$ et

$func{e}^{uleft( xright) }>0$ et donc $f^{prime }left( xright) >0$

Tableau de variation de f(x)

a) . La longueur de la queue du lézard après 20 jours derepousse est donc d’environ 3,7 cm (arrondie au millimètre).

b) $limlimits_{xrightarrow +infty }left( -frac{x}{10}right) =-infty$ donc $limlimits_{xrightarrow +infty }left( func{e}^{-frac{x}{10}% }right) =allowbreak 0$ ; $limlimits_{xrightarrow +infty }left( uleft( xright) right) =0$ et $limlimits_{xrightarrow +infty }left( func{e}^{uleft( xright) }right) =1$ et donc $limlimits_{xrightarrow +infty }left( fleft( xright) right) =10$

Conclusion : Selon cette modélisation, la queue du lézard ne peut pas
mesurer 11 cm.

a) $f"left( xright) =frac{1}{10}uleft( xright) func{e}^{left( uleft( xright) 1+uleft( xright) right) }$

$frac{1}{10}uleft( xright) <0$ ; $func{e}^{uleft( xright) }>0$ donc $% f^{prime prime }left( xright)$ du signe de soit de

; ; $func{e}^{2-% frac{x}{10}}geq 1$ ; $func{e}^{2-frac{x}{10}}geq func{e}^{0}$ ; $2-% frac{x}{10}geq 0$ ; $-frac{x}{10}geq -2$ soit

Tableau de variation de f'(x)

b) On en déduit que la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de 20 jours.

Corrigé bac exercice 3 (Vecteurs de l’espace)

Résolvons : $left{ begin{array}{c} 3+t=10k \ 6t=2+6k% end{array}% right.$ Nous obtenons $left{ begin{array}{c} t=frac{19}{27} \ k=frac{10}{27}% end{array}% right.$

On a donc $-3t=frac{-57}{27}$ et $-4k=-frac{40}{27}$

Comme est différent de , les 2 trajectoires ne se croisent pas.

2 a) Calculons les coordonnées des vecteurs directeurs des droites $D_{1}$ et $D_{2}$ .

$overrightarrow{U_{1}}left( 1;6;-3right)$ et $overrightarrow{U_{2}}% left( 10;6;-4right)$

Calculons :

$overrightarrow{n}cdot overrightarrow{U_{1}}=3times 1+13times 6+27times left( -3right) =0$

$overrightarrow{n}cdot overrightarrow{U_{2}}=3times 10+13times 6+27times left( -4right) =0$

Donc est perpendiculaire aux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ .

b) appartient à $D_{1}$ , ses cordonnées vérifient l’équation de ladroite, de même pour $H^{prime }$ avec $D_{2}$ .

Coordonnées de $overrightarrow{HH^{prime }}$ :

On sait que $overrightarrow{HH^{prime }}$ et coliné%aires donc $overrightarrow{HH^{prime }}=ltimes overrightarrow{n}$

Soit : $left{ begin{array}{c} 10k-3-t=3l \ 2+6k-6t=13l \ -4k+3t=27l% end{array}% right.$

Note : dans le tableau de l’énoncé il y a une erreur est à remplacerpar k

Calculons la longueur $HH^{prime }$ :

$HH^{prime }=sqrt{left( 3lright) ^{2}+left( -4lright) ^{2}+left( 27lright) ^{2}}=lsqrt{907}=frac{17}{907}sqrt{907}simeq 0,564$ unitéssoit avec une unité de 100 m, $HH^{prime }simeq 56,4unit{m}$