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Corrigé Bac S maths 2018 – Amérique du sud (1)

Ton E-prof de soutien scolaire en ligne te propose le corrigé de l’épreuve de Mathématiques Bac S Amérique du Sud novembre 2018.

Corrigé 1ere partie.

Exercice 1

corrigé bac maths amérique du sud 2018

Partie A (Probabilités totales et conditionnelles)

1) On utilise la loi des probabilités totales : P(F)=P(Bcap F)+P(overline{% B}cap F)

On en déduit : P(overline{B}cap F)=P(F)-P(Bcap F)=0,54-0,65times 0,72=allowbreak 0,072

2) P_{F}left( overline{B}right) =frac{P(overline{B}cap F)}{P(F)}=% frac{0,072}{0,54}simeq 0,133 (soit 13,3 %)

3) On doit calculer : P_{overline{B}}left( Fright) =frac{Pleft( overline{B}cap Fright) }{Pleft( overline{B}right) }=frac{0,072}{1-0,65% }simeq 0,206 (soit 20,7 %)

Partie B (Loi normale)

On cherche P_{X>95}=1-P_{X<95}

Pour P_{X<95} la calculatrice donne 0,994.

P_{X>95}=0,006

qquad On cherche a tel que P_{x<a}=0,02

La calculatrice donne asimeq 85,99 (valeur approchée au centième)

Cela signifie : la probabilité que la quantité de farine vendue chaque mois
soit inférieure à 86 kg est de 2%

Partie C (Intervalle de fluctuation asymptotique)

P=0,468 et n=2500.

On a bien n>30, ntimes P=1170>5 et n(1-P)=1330>5

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est :

left[ P-1,96times frac{sqrt{P(1-P)}}{sqrt{n}};P+1,96times frac{sqrt{% P(1-P)}}{sqrt{n}}right] simeq left[ 0,448;0,488right]

Fréquence de l’échantillon : f=frac{1025}{2500}=allowbreak 0,41

f n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, donc la clientèle n’estpas représentative des consommateurs en France.

Corrigé de l’exercice 2 (Fonctions exponentielles)

corrigé bac maths sur les fonctions exponentielles

f^{prime }left( xright) =10u^{prime }left( xright) func{e}^{uleft( xright) }

avec uleft( xright) =-func{e}^{2-frac{x}{10}} soit u^{prime }left( xright) =frac{1}{10}func{e}^{2-frac{x}{10}} et par conséquent % 10u^{prime }left( xright) =func{e}^{2-frac{x}{10}}=-uleft( xright)

Donc f^{prime }left( xright) =-uleft( xright) func{e}^{uleft( xright) }

func{e}^{2-frac{x}{10}}>0 soit –func{e}^{2-frac{x}{10}}<0 et % -uleft( xright) >0

func{e}^{uleft( xright) }>0 et -uleft( xright) >0 donc f^{prime }left( xright) >0

Tableau de variation de f(x)

8cbe17bda5cdfd3e3bbcd4a01576f39f8ecefe83

a) f(20)=3,68. La longueur de la queue du lézard après 20 jours derepousse est donc d’environ 3,7 cm (arrondie au millimètre).

b) limlimits_{xrightarrow +infty }left( -frac{x}{10}right) =-inftydonc limlimits_{xrightarrow +infty }left( func{e}^{-frac{x}{10}% }right) =allowbreak 0 ; limlimits_{xrightarrow +infty }left( uleft( xright) right) =0 et limlimits_{xrightarrow +infty }left( func{e}^{uleft( xright) }right) =1 et donc limlimits_{xrightarrow +infty }left( fleft( xright) right) =10

Conclusion : Selon cette modélisation, la queue du lézard ne peut pas
mesurer 11 cm.

a) f"left( xright) =frac{1}{10}uleft( xright) func{e}^{left( uleft( xright) 1+uleft( xright) right) }

frac{1}{10}uleft( xright) <0 ; func{e}^{uleft( xright) }>0 donc % f^{prime prime }left( xright) du signe de -left( 1+uleft( xright) right) soit de -1-uleft( xright)

-1-uleft( xright) geq 0 ; -uleft( xright) geq 1 ; func{e}^{2-% frac{x}{10}}geq 1 ; func{e}^{2-frac{x}{10}}geq func{e}^{0} ; 2-% frac{x}{10}geq 0 ; -frac{x}{10}geq -2 soit xleq 20

Tableau de variation de f'(x)

d333192a0b4c127755ff6fc9d901bccb57a053ed

b) On en déduit que la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de 20 jours.

Corrigé bac exercice 3 (Vecteurs de l’espace)

Corrigé bac 2018 Vecteurs de l'espace

Résolvons : left{ begin{array}{c} 3+t=10k \ 6t=2+6k% end{array}% right. Nous obtenons left{ begin{array}{c} t=frac{19}{27} \ k=frac{10}{27}% end{array}% right.

On a donc -3t=frac{-57}{27} et -4k=-frac{40}{27}

Comme -3t est différent de -4k, les 2 trajectoires ne se croisent pas.

2 a) Calculons les coordonnées des vecteurs directeurs des droites D_{1}et D_{2}.

overrightarrow{U_{1}}left( 1;6;-3right) et overrightarrow{U_{2}}% left( 10;6;-4right)

Calculons :

overrightarrow{n}cdot overrightarrow{U_{1}}=3times 1+13times 6+27times left( -3right) =0

overrightarrow{n}cdot overrightarrow{U_{2}}=3times 10+13times 6+27times left( -4right) =0

Donc overrightarrow{n} est perpendiculaire aux droites D_{1} et D_{2}.

b) H appartient à D_{1}, ses cordonnées vérifient l’équation de ladroite, de même pour H^{prime } avec D_{2}.

Coordonnées de overrightarrow{HH^{prime }} : left( 10k-3-t;2+6k-6t;-4k+3tright)

On sait que overrightarrow{HH^{prime }} et overrightarrow{n} coliné%aires donc overrightarrow{HH^{prime }}=ltimes overrightarrow{n}

Soit : left{ begin{array}{c} 10k-3-t=3l \ 2+6k-6t=13l \ -4k+3t=27l% end{array}% right.

Note : dans le tableau de l’énoncé il y a une erreur -4l est à remplacerpar -4k

Calculons la longueur HH^{prime } :

HH^{prime }=sqrt{left( 3lright) ^{2}+left( -4lright) ^{2}+left( 27lright) ^{2}}=lsqrt{907}=frac{17}{907}sqrt{907}simeq 0,564 unitéssoit avec une unité de 100 m, HH^{prime }simeq 56,4unit{m}

Conclusion : HH^{prime }=56unit{m} au mètre près.

3 a) Calculons les coordonnées de overrightarrow{BM} :

overrightarrow{BM}left( left( 3+t-2right) ;left( 6t-4right) ;left( -3t-0right) right)

Soit overrightarrow{BM}left( 1+t;6t-4;-3tright)

Donc overrightarrow{BM}^{2}=fleft( tright) =left( 1+tright) ^{2}+left( 6t-4right) ^{2}+left( -3tright) ^{2}=46t^{2}-46t+17

f^{prime }left( tright) =92t-46

f^{prime }left( tright) =0 pour t=frac{1}{2}

Tableau de variation de BM

bb25678505aad365e0d30eec3eccf5a3a9f7e020

Coordonnées de M :(frac{7}{2};3;-frac{3}{2})

b) Calculons BM_{mini}

BM_{mini}=sqrt{left( 46times left( frac{1}{2}right) ^{2}-46times frac{1}{2}+17right) }=allowbreak 2,,allowbreak 345,2 unités soit234,5 m

Au mètre près, BM_{mini}=235unit{m}

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