Corrigé bac maths S Washington 2019 - Fonctions et Suites

Établir une égalité, étudier une suite... retrouvez notre corrigé de bac maths 2019 Washington sur les fonctions et suites.

Dans ce cours de maths niveau lycée, ton -e-prof de soutien scolaire en ligne propose ce corrigé de bac niveau terminale S.

Exercice 3 de ce sujet de bac

corrigé de bac maths 2019 Washington sur les fonctions et suites

Comment réussir le sujet de bac maths S 2019 sur les fonctions et suites ?

Corrigé de cet exercice 3

Partie A : établir une égalité


1.

f est dérivable car x est positif donc x + 1 > 0. Le logarithme ne pose alors aucun problème.

La dérivée de f est 

établir une égalité en maths terminale S

Pour x positif, le numérateur comme le dénominateur sont positifs. La dérivée est positive, et même strictement positive en dehors de x=0. Ainsi f est strictement croissante sur [ 0 ; +infini [

2.

f est croissante (question précédente) et f(0)=0 (calcul très simple à écrire sur sa copie). On en déduit que f est positive sur [ 0 ; +infini [.

Ainsi : corrigé bac maths sur les égalités

Partie B : application à l'étude d'une suite


1.

u0 = 0,039

2.a.

Montrons par récurrence que pour tout n entier naturel, u(n) >= 0.

Initialisation : u0 = 1 >= 0

Hérédité : supposons que pour un certain entier naturel n, on ait u(n) >= 0

Alors u(n+1) = u(n) - ln (u(n) + 1)  est positif d'après la question 2 de la partie A. Il suffit en effet de remplacer le x positif de cette question par u(n) pour en déduire la positivité de u(n+1).

Ainsi la propriété est initialisée et héréditaire, elle est donc vrai pour tout entier naturel n.  

2.b.

Soit un entier naturel n. On a : application d'un exercice de maths à l'étude d'une suite

Or vu que u(n) est positif (question 2.a), u(n) + 1 est supérieur à 1. Le logarithme étant croissant, on a : 5fea7591e4c89881a18aa48cd7739005bb529ed5

Donc : e4bd410ce9c98eedd483320b0d941b74ca6380ac

Et enfin : 62d8a1ec15c0d728c2537e794e78fdfaeba3d784

En conséquence de quoi la suite u est décroissante. Elle est donc majorée par son premier terme 1.

2.c

La suite u est croissante et minorée (par 0), donc elle converge.

3.

Résolvons l'équation proposée : 7fce03774b5616f9cf4c32f44be4751f64e06ccd

Ainsi u converge vers 0.

4.a.

Entrer un entier naturel p

u prend la valeur 1

N prend la valeur 0

Tant que u>10^(-p), faire : 

    u prend la valeur u - ln(u+1)

    N prend la valeur N+1

Fin tant que

Renvoyer/afficher N

4.b.

On peut programmer l'algorithme sur sa calculatrice, ou dresser la table de la suite, ou même utiliser la fonction "rép/ans" de la calculatrice. Dans tous les cas, N=5 si p=15.

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