Corrigé bac maths S Washington 2019 - Fonctions et Suites

Établir une égalité, étudier une suite... retrouvez notre corrigé de bac maths 2019 Washington sur les fonctions et suites.

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Exercice 3 de ce sujet de bac

Corrigé de cet exercice 3

Partie A : établir une égalité

1.

f est dérivable car x est positif donc x + 1 > 0. Le logarithme ne pose alors aucun problème.

La dérivée de f est 

Pour x positif, le numérateur comme le dénominateur sont positifs. La dérivée est positive, et même strictement positive en dehors de x=0. Ainsi f est strictement croissante sur [ 0 ; +infini [

2.

f est croissante (question précédente) et f(0)=0 (calcul très simple à écrire sur sa copie). On en déduit que f est positive sur [ 0 ; +infini [.

Ainsi : 

Partie B : application à l'étude d'une suite

1.

u0 = 0,039

2.a.

Montrons par récurrence que pour tout n entier naturel, u(n) >= 0.

Initialisation : u0 = 1 >= 0

Hérédité : supposons que pour un certain entier naturel n, on ait u(n) >= 0

Alors u(n+1) = u(n) - ln (u(n) + 1)  est positif d'après la question 2 de la partie A. Il suffit en effet de remplacer le x positif de cette question par u(n) pour en déduire la positivité de u(n+1).

Ainsi la propriété est initialisée et héréditaire, elle est donc vrai pour tout entier naturel n.  

2.b.

Soit un entier naturel n. On a : 

Or vu que u(n) est positif (question 2.a), u(n) + 1 est supérieur à 1. Le logarithme étant croissant, on a : 

Donc : 

Et enfin : 

En conséquence de quoi la suite u est décroissante. Elle est donc majorée par son premier terme 1.

2.c

La suite u est croissante et minorée (par 0), donc elle converge.

3.

Résolvons l'équation proposée : 

Ainsi u converge vers 0.

4.a.

Entrer un entier naturel p

u prend la valeur 1

N prend la valeur 0

Tant que u>10^(-p), faire : 

    u prend la valeur u - ln(u+1)

    N prend la valeur N+1

Fin tant que

Renvoyer/afficher N

4.b.

On peut programmer l'algorithme sur sa calculatrice, ou dresser la table de la suite, ou même utiliser la fonction "rép/ans" de la calculatrice. Dans tous les cas, N=5 si p=15.