Probabilités, réussir à résoudre le paradoxe des anniversaires

Dans ce cours de mathématiques niveau lycée, Ton e-prof de soutien scolaire en ligne associe calcul de probabilités et dates d'anniversaire à l'aide d'un exercice corrigé.

C'est un problème célèbre de probabilité dont le résultat est très surprenant et défie l'intuition. L'énoncé est très simple.

Dans votre classe, quelle est la probabilité que deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour ?

Spoiler : si vous êtes plus de 23 dans votre classe (oui, 23 seulement !), il y a plus d'une chance sur deux que deux de vos camarades aient la même date de naissance...

Comment résoudre ce problème de mathématiques

L'idéal pour résoudre ce problème est déjà de bien le poser. On commence par remarquer qu'il y a 365 dates d'anniversaire possibles (sauf années bissextiles, mais nous partirons sur une année normale). On pose n le nombre d'élèves de la classe.

ATTENTION : essayer de calculer directement cette probabilité est très difficile. Il vaut mieux passer par l'événement contraire.

Ainsi : P(au moins 2 élèves ont la même date d'anniversaire) = 1 - P(Tous les élèves ont une date d'anniversaire différente).

Calculons donc la probabilité que chaque élève ait une date d'anniversaire différente de tous les autres.

Modélisation : Une classe de n élèves peut être ainsi modélisée : c'est un point à n coordonnées, qu'on appelle aussi un n-uplet, qui peut s'écrire (d₁,d₂,d₃,...d_n), avec les d_i la date d'anniversaire de l'élève numéro i, prise parmi les 365 possibles.

Démarche : nous allons utiliser la célèbre formule P = nombre de cas favorables / nombres de cas possibles.

Nombre de cas favorables : Il s'agit de compter combien de classes sont constitués d'élèves ayant des dates d'anniversaires distinctes deux à deux.

• 1er élève : 365 possibilités
• 2è élève : 364 possibilités, car la date du premier élève est déjà prise
• 3è élève : 363 possibilités car les deux premières dates sont déjà prises
• ...
• nè élève : 365 - n + 1 possibilités.

Au total le nombre de possibilités s'élève à 365 x 364 x 363 x... x (365 - n + 1), ce qui correspond à 365!/(365-n)!

(Je rappelle que le point d'exclamation est l'opérateur "factorielle", qui se définit ainsi : p! = p x (p-1) x (p-2) x (p-3) x ... x 3 x 2 x 1. Cet opérateur existe dans les calculatrices et nous pourrons l'utiliser.

Nombre de cas possibles : Il s'agit de compter combien de classes existent au total (en terme de dates d'anniversaire des élèves évidemment). Dans l'ordre temporel, la classe la plus agée aura tous ses élèves nés le 1er janvier, la plus jeune tous ses élèves nés le 31 décembre, et bien sûr, toutes les classes se situent entre ces deux extrêmes.

• Premier élève : 365 possibilités
• Deuxième élève : 365 possibilités
• etc.

Au total : 365ⁿ possibilités.

Corrigé du problème

Ainsi, la probabilité que les élèves aient tous une date d'anniversaire différente est de 365! / [365ⁿ x (365-n)!]

Mais nous voulions la probabilité contraire (au moins deux élèves ont la même date d'anniversaire), donc la réponse à notre problème est 1 -  365! / [365ⁿ x (365-n)!]. Ouf !

La calculatrice peut nous construire la table de cette suite. La voici : 

Ce n'est qu'un extrait contenant une partie des valeurs dans des classes de moins de 100 élèves. 

On notera : 

• Que 23 élèves suffisent pour dépasser une probabilité supérieure à 0,5 !!!! C'est de là que vient le terme de PARADOXE des anniversaire. On s'attendrait, avec seulement 23 élèves à avoir une bien plus faible probabilité que deux élèves fêtent leur anniversaire le même jour...
• Qu'à partir de seulement 57 élèves, on dépasse 99% de chance...

Bref, dans une classe normale de TS (environ 35 élèves), vous approchez des 80% de chance que deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour...

Programme sous Python